Сбрасывание гири на пружинные весы

Question

Сбрасывание гири на пружинные весы

Новичок

Скажем, я бросаю 5-килограммовый груз с высоты 1 метр на пружинные весы, которые есть у многих людей в ванной. При ударе весы покажут больший вес, чем 5 кг.

Вопрос : Какие величины учитывают максимальный вес, отображаемый на весах, и есть ли способ рассчитать свойства пружины внутри весов на основе этой информации?

Редактировать: это не домашнее задание, просто то, о чем я подумал, когда чистил зубы сегодня утром...

Ответы (2)

Сбрасывание гири на пружинные весы

Том-Том · Answer 1

Если предположить, что шкала работает как пружина, что кажется разумным, то при стандартном использовании смещение $x$ шкала пропорциональна массе $m$ . Отношение равновесия

\begin{matrix} (1) & м г "=" к Икс, \end{matrix}

$mg=kx,\tag{1}$ где

k

$k$ это жесткость пружины.

Предполагая, что, когда вы сбросили массу $M$ с высоты $h$ , вся кинетическая энергия (которая равна $Mgh$ поскольку она была преобразована из потенциальной энергии) преобразуется в упругую энергию, мы имеем соотношение

\begin{matrix} (2) & М г час "=" \frac{1}{2} к {Икс}^{2} . \end{matrix}

$Mgh=\frac12kx^2.\tag{2}$ Соотношение между измеренной массой

m

$m$ и реальная масса

M

$M$ следовательно является

М "=" \frac{1}{2} \frac{г м^{2}}{к час} .

$M=\frac{1}{2}\frac{gm^2}{kh}.$ При всех этих предположениях мы находим, что жесткость пружины равна

k = \frac{1}{2} \frac{g}{h} \frac{m^{2}}{M}

$k=\frac12\frac gh\frac{m^2}{M}$ .

Если мы сделаем $h=0$ , отображаемая масса $м "=" \sqrt{\frac{2 к час М}{г}}$ $m=\sqrt{2\;k\;h\;M\over g}$ является $m=0$ , когда это должно быть $m=M$ (то, что отображается, когда мы деликатно ставим гирю на весы, как и положено). Также это решение не учитывает тот факт, что дисплей $m$ больше чем $M$ для всех $h>0$ . Так что это не может быть точно правильно . Возможно, это допустимое приближение в какой-то неустановленной области, например $час ≫ \frac{М г}{к}$ $h\gg{M\;g\over k}$ PS: какая боль, которую делает нотация $m>M$ .
@fgrieu. Вы правы, я сделал два приближения. 1. В выражении полной энергии я пренебрег смещением шкалы: $x\ll h$ . 2. Я пренебрег системой демпфирования в шкале. Если у меня будет время, я добавлю решение, включающее эти два дополнительных параметра.
Исправление: если мы сделаем $h=0$ , мы должны получить $m=2M$ .

фгриё · Answer 2

Предлагаемый ответ : жесткость пружины влияет на мгновенно отображаемое значение; чем жестче, тем выше. Для необычно мягкой пружины (достаточно мягкой, чтобы шкала опустилась примерно на $5$ см или больше, когда на нее наступает взрослый), следующий анализ может позволить оценить жесткость пружины. Но с обычными механическими напольными весами этот метод использовать нельзя; у нас не будет времени сделать показания, они будут далеко за пределами шкалы и/или бесполезны, и эксперимент, вероятно, повредит шкалу, если она или масса не будут мягкими и/или эластичными. Показания действительно во многом зависят от массы движущихся частей весов и от того, что происходит с энергией при ударе: она может быть потеряна из-за необратимого повреждения поверхности весов или падающей массы; или он может быть сохранен как деформация массы или поверхности весов, а не как деформация пружины весов; в каких случаях показание бесполезно для оценки жесткости пружины.

Мы надеемся, что это улучшит приближение, сделанное в другом ответе , используя ту же гипотезу (сомнительную на практике), что

шкала не имеет демпфирования или трения
энергия не теряется, когда масса воздействует на весы
движущийся механизм весов имеет незначительную массу по сравнению с упавшей массой

Я использую те же обозначения, за исключением максимального показания шкалы, которую я переименовываю. $R$ (скорее, чем $m$ , что сбивает с толку, поскольку $m\gg M$ на практике).

$M=5$ кг масса объекта
$R$ максимальное значение, отображаемое на весах (в кг)
$x$ соответствующее максимальное смещение шкалы с момента контакта (в м)
$h=1$ м высота падения с поверхности окалины до контакта
$g=9.81$ Н/кг силы тяжести Земли (как местная, так и принятая производителем весов)
$k$ жесткость пружины (в Н/м)

Масштаб таков, что

р г "=" к Икс

$R\;g\;=\;k\;x$ Когда шкала показывает

R

$R$ , вся энергия массы, падающей с высоты

h

$h$ затем вниз

x

$x$ хранится весной, поэтому

М г (час + Икс) "=" \frac{1}{2} к {Икс}^{2}

$M\;g\;(h+x)\;=\;{1\over2}\;k\;x^2$

Устранение $x$ , мы получаем

2 М (к час + р г) "=" р^{2} г

$2\;M\;(k\;h+R\;g)\;=\;R^2\;g$

Когда мы подключим $h=0$ следует, что $R=2M$ (имеется временное превышение; это нормально, и на практике весы стабилизируются между начальным значением $0$ и его максимальное чтение $2M$ , в среднем, $M$ , как и ожидалось).

Таким образом, жесткость пружины

к "=" \frac{р г (р - 2 М)}{2 М час}

$k\;=\;{R\;g\;(R-2\;M)\over2\;M\;h}$

Поскольку сделанная гипотеза настолько нереалистична, мы должны принимать любой результат с большой осторожностью и перепроверять; возможно, уменьшив $h$ , или лучше попытаться измерить, насколько весы опускаются под некоторым весом (это было бы трудно измерить, но большая часть ошибки связана с этим измерением, поэтому надежно ограничена). Кроме того, относительная ошибка на $R$ обязательно вызовет более чем вдвое большую относительную ошибку на $k$ , становится намного хуже, когда $R$ меньше в несколько раз $M$ .

Решение уравнения для $R>0$ мы получаем

р "=" М + \sqrt{М^{2} + \frac{2 М к час}{г}}

$R\;=\;M+\sqrt{M^2+{2\;M\;k\;h\over g}}$

Если мы подключим $k\;=\;98100$ Н/м (то есть шкала идет вниз $1$ см для веса массы $100$ кг) получаем показание $R=321$ кг. У моих бывших механических весов для ванной не было таких показаний (и я уверен, что у них была более жесткая пружина, что привело к еще большему показанию). $R$ ); это подтверждает, что метод не может быть использован на практике , если только пружина не является необычно мягкой: если мы сделаем это $k\;=\;9810$ Н/м, получаем $R=105$ кг.

С этими более поздними параметрами мягкой пружины приближение, сделанное в другом ответе, дает $k$ в избытке на $+10\%$ (трудно сказать, имеет ли это значение по сравнению с другими источниками ошибок). Самая жесткая пружина, выше $h$ или ниже $M$ , сделайте это приближение ближе к теоретическому значению, которое мы получаем в настоящем ответе.

Обновление : еще одна причина, по которой метод нельзя использовать на практике, заключается в том, что, за исключением необычно мягких пружин, у нас не будет достаточно времени, чтобы прочитать $R$ , так как пружина будет оставаться сжатой так мало времени (лишь небольшая часть времени падения, и эта доля уменьшается с самыми жесткими пружинами). Кроме того, сделанная гипотеза подразумевает, что пружина будет толкать массу вверх при отскоке, отбрасывая ее обратно на высоту. $h$ ; но в действительности отскок массы будет намного меньше, при этом большая часть соответствующей энергии будет поглощена механизмом и поверхностью весов, а также самой массой, когда мы постулируем, что такой потери нет.

@Rations: $R\;g\;=\;k\;x$ речь идет только о масштабе; в любой момент показания весов $R$ пропорциональна смещению шкалы $x$ , а комбинация пружины и механизма весов такова, что это уравнение выполняется, так что показания весов (в состоянии равновесия) дают массу того, что на них. $g$ - сила тяжести земли, принятая производителем весов (или калибровкой).
@Rations: Когда аккуратно кладешь массу $M$ чуть выше шкалы и бросьте ее оттуда, шкала первоначально колеблется между $0$ и $2M$ . Только после демпфирования (и некоторой потери энергии) вы получаете показания $M$ .

Сбрасывание гири на пружинные весы

Новичок

Ответы (2)

Том-Том

фгриё

Том-Том

фгриё

фгриё

фгриё

фгриё

Каково значение максимального сжатия пружины?

Максимальное удлинение системы пружинных масс

Какой подход выбрать с вертикальной пружиной?

Два тела, соединенные пружиной

Работа, совершаемая пружиной на расстоянии

Машина Этвуда с пружиной

Неясное определение несохранения энергии

Каково значение зажима центра пружины?

Энергетическая проблема физики + концепция