Классическая механика, Теоретический минимум: сохранение углового момента для двойного маятника без гравитационного поля

Я читаю «Классическую механику» Зюскинда и Грабовского, «Теоретический минимум». Я могу решить все упражнения, кроме одного: упражнения 7 из лекции 7, где вас просят доказать, что момент импульса двойного маятника сохраняется, если нет гравитационного поля.

Все массы и длины стержней выбраны равными 1. Выбор координат отличается от большинства учебников тем, что угол второго стержня измеряется относительно угла первого стержня, а не относительно вертикали. см. рисунок:

Выражение для лагранжиана без гравитационного поля дано в книге как

$$L = \frac{\dot{\theta}^2}{2} + \frac{\dot{\theta}^2 + (\dot{\theta}+\dot{\alpha} )^2}{2} + \dot{\theta} (\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \cos \alpha$$ Из этого выражения видно, что $\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$и $\frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha$. Два других члена в уравнениях Эйлера-Лагранжа становятся $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 3\dot{\theta} + \dot{\alpha} + (2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \cos \alpha,$$ и $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = \dot{\theta} + \dot{\alpha} + \dot{\theta} \cos \alpha.$$ Взятие производной по времени от последних двух уравнений дает $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 3\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + (2\ddot{\theta} + \ddot{\alpha})\cos \alpha - \dot{\alpha}(2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \sin \alpha$$ и $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = \ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + \ddot{\theta}\cos \alpha - \dot{\alpha} \dot{\theta} \sin \alpha.$$

Используя сопряженные угловые моменты$p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}$и$p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}$, уравнения Эйлера-Лагранжа можно записать в виде

$$\frac{d p_{\theta}}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0,$$ и $$\frac{d p_{\alpha}}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$ Из последних четырех уравнений мы можем приравнять первое и третье, а второе и четвертое, чтобы получить уравнения движения $$3\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + (2\ddot{\theta} + \ddot{\alpha})\cos \alpha - \dot{\alpha}(2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \sin \alpha = 0,$$ и $$\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + \ddot{\theta}\cos \alpha - \dot{\alpha} \dot{\theta} \sin \alpha = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$

Сохранение полного углового момента означает, что$\frac{d}{dt} \big[ p_{\theta} + p_{\alpha}\big] = 0$должны соответствовать действительности. Однако приведенные выше уравнения дают

$$\frac{d}{dt} \big[ p_{\theta} + p_{\alpha}\big] = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$ Я не вижу, как я могу доказать, что правая часть последнего уравнения равна нулю, ни из уравнений движения, ни каким-либо другим способом. Может ли кто-нибудь помочь мне с этой проблемой?