Массовая размерность производной в лагранжиане

Мы работаем в подразделениях, где$c = \hbar = 1$. Напомним, что длина волны Комптона равна

$$\lambda = \frac{\hbar}{mc}$$

и, таким образом, в наших единицах измерения длины$\lambda$имеют единицы обратной массы или эквивалентной обратной энергии, поэтому мы говорим$[\lambda] = -1$, т.е.$[\lambda] = [M]^{-1}$. Частный дифференциал,

$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

который имеет размеры, обратные длине, поэтому$[\partial] =1$. Этот вывод не зависит от понятия лагранжиана. Теперь мы можем применить это знание, чтобы сказать, скалярная теория поля:

$$\mathcal L = \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi, \quad S = \int \mathcal L \, \mathrm d^4x.$$

Действие имеет те же единицы измерения, что и$\hbar$который установлен в единицу, поэтому$[S] = 0$. Каждый$\mathrm dx$имеет единицы длины, поэтому$[\mathrm d^4x] = -4$из которого мы находим$[\mathcal L] = 4$. Зная$[\partial] = 1$, мы нашли$[\phi] = 1$.