Вывод низкоэнергетического эффективного гамильтониана [дубликат]

Question

Вывод низкоэнергетического эффективного гамильтониана [дубликат]

Роджер209

В квантовой механике гамильтониан $H$ удовлетворяет уравнению Шредингера

ЧАС ψ "=" Е ψ .

$H\psi = E\psi.$ Предположим, что

P

$P$ является проекционным оператором, и

Q = 1 - P

$Q=1-P$ . Низкоэнергетический эффективный гамильтониан равен

{ЧАС}_{е ф ф} "=" {ЧАС}_{п п} + \frac{{ЧАС}_{п Вопрос} {ЧАС}_{Вопрос п}}{Е - {ЧАС}_{Вопрос Вопрос}} .

$H_{eff} = H_{PP} + \frac{H_{PQ}H_{QP}}{E-H_{QQ}}.$ Мой способ сделать это — комбинация двух алгебраических уравнений. Недавно я нашел хорошую статью (Л. Петерсен

e t a l .

$et~~al.$ Простая модель сильной связи спин-орбитального расщепления поверхностных состояний, производных от sp), авторы которой заявили, что можно получить (уравнение 13)

п \frac{1}{ϵ - ЧАС} п "=" \frac{1}{ϵ - {ЧАС}_{е ф ф}}

$P\frac{1}{\epsilon-H}P = \frac{1}{\epsilon-H_{eff}}$ из стандартной теоремы линейной алгебры. Вот мне просто интересно, что "что за стандартная теорема"? Пожалуйста, сообщите мне об опущенной детали в вышеупомянутом документе.

Вольпертингер

Возможный дубликат поиска эффективного гамильтониана в определенном подпространстве

Джахан Клас

«Стандартная теорема» линейной алгебры — это формула обращения

2 \times 2

$2\times 2$ блок матриц . Смотрите мой ответ здесь для подробного вывода.

Ответы (1)

Вывод низкоэнергетического эффективного гамильтониана [дубликат]

Возможный дубликат поиска эффективного гамильтониана в определенном подпространстве
«Стандартная теорема» линейной алгебры — это формула обращения $2\times 2$ блок матриц . Смотрите мой ответ здесь для подробного вывода.

удрв · Answer 1

Назовите временную эволюцию для гамильтониана $H$ дан кем-то $U(t) = \exp(-iHt)$ и соответствующая эволюция на поддержке $P$ является

п U (т) п "=" п опыт (- я ЧАС т) п "=" опыт (- я {ЧАС}_{эфф} т) \equiv U_{эфф} (т)

$PU(t)P = P\exp(-iHt)P = \exp(-iH_\text{eff}t) \equiv U_\text{eff}(t)$

предполагая $H_\text{eff}$ существует. Искомое тождество следует из

\begin{matrix} (1) & \underset{η \to 0}{лим} \int_{0}^{\infty} д т U (т) е^{я (ϵ + я η) т} "=" \frac{я}{ϵ - ЧАС} . \end{matrix}

$\lim_{\eta \rightarrow 0} \int_0^\infty dt \; U(t) e^{i (\epsilon + i \eta) t} = \frac{i}{\epsilon - H} \, . \tag{1}$

Применение $P$ к обеим сторонам уравнения. $(1)$ дает

\begin{matrix} (2) & \underset{η \to 0}{лим} \int_{0}^{\infty} д т п U (т) п е^{я (ϵ + я η) т} "=" п \frac{я}{ϵ - ЧАС} п . \end{matrix}

$\lim_{\eta \rightarrow 0} \int_0^\infty dt \; P U(t) P e^{i (\epsilon + i \eta) t} = P\frac{i}{\epsilon - H}P \, . \tag{2}$

Затем с помощью $PU(t)P = U_\text{eff}(t)$ в левой части уравнения. $(2)$ мы получаем

\begin{matrix} (3) & \underset{η \to 0}{лим} \int_{0}^{\infty} д т U_{эфф} (т) е^{я (ϵ + я η) т} "=" п \frac{я}{ϵ - ЧАС} п . \end{matrix}

$\lim_{\eta \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} dt \; U_\text{eff}(t) e^{ i (\epsilon + i \eta) t} = P \frac{i}{\epsilon - H}P \, . \tag{3}$

Теперь используйте уравнение $(1)$ но с эффективным вместо полного гамильтониана, чтобы заменить левую часть уравнения. $(3)$ . Результат

\frac{1}{ϵ - {ЧАС}_{эфф}} "=" п \frac{1}{ϵ - ЧАС} п

$\frac{1}{\epsilon - H_\text{eff}} = P\frac{1}{\epsilon - H}P$ как указано.

О, должно было быть $\Rightarrow$ = «подразумевается». Спасибо за исправление. Однако то, как вы переставили ответ, может заставить новичка задуматься о связи между 1-м и 2-м равенствами после интеграла по PU(t)P.
Вы правы, то, как я переставил это, было неясно. Надеюсь новая версия подойдет.
@udrv Мне нравится аргумент, но он игнорирует энергетическую зависимость $H_\textrm{eff}$ ?

Вывод низкоэнергетического эффективного гамильтониана [дубликат]

Роджер209

Вольпертингер

Джахан Клас

Ответы (1)

удрв

Даниэль Санк

удрв

Даниэль Санк

Рубен Верресен

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Помогите упростить уравнение коммутатора

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Гармонический осциллятор

Матричный элемент нормально упорядоченного оператора

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга