Преобразование во вращающуюся рамку в основе xxx

Раджат Радхакришнан

Я читал эту статью об аналитически решаемых двухуровневых квантовых системах, зависящих от времени. Рассматриваемый в статье гамильтониан имеет следующий вид:

ЧАС "=" о_{г} \cdot Дж (т) / 2) + о_{Икс} \cdot час / 2

$H=\sigma_z\cdot J(t)/2)+\sigma_x\cdot h/2$

$U$ является унитарным оператором эволюции с элементами $u_{ij}$ (Уравнение (2) в статье). Принято, что после преобразования к вращающемуся по x-базису получается следующее уравнение (уравнение (3) в статье):

Д_{+} "=" е^{+ я \cdot час \cdot т / 2} ({ты}_{11} + {ты}_{21}) \cdot 1 / \sqrt{(} 2)

$D_+=e^{+i\cdot h\cdot t/2}(u_{11}+u_{21})\cdot 1/\sqrt(2)$ и

Д_{-} "=" е^{- я \cdot час \cdot т / 2} ({ты}_{11} - {ты}_{21}) \cdot 1 / \sqrt{(} 2)

$D_-=e^{-i\cdot h\cdot t/2}(u_{11}-u_{21})\cdot 1/\sqrt(2)$

Что это $D_+$ и $D_-$ ? Я знаю, что общий вид оператора вращения (который также часто обозначается $D$ ) для спиновой системы:

Д (\hat{н}, θ) "=" е^{- я θ \hat{н} \cdot \vec{С}}

$D(\hat n,\theta)=\mathrm e^{-i\theta\ \hat{n}\cdot\vec S}$ и когда я вычислил его для вращения вокруг оси x, я получил оператор вращения:

Д (\hat{н}, θ) "=" [\begin{array}{cc} потому что (θ / 2) & - я грех (θ / 2) \\ - я грех (θ / 2) & потому что (θ / 2) \end{array}]

$D(\hat n,\theta)=\left[ {\begin{array}{cc} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \ \end{array} } \right]$

Какие $D$ s получается при преобразовании во вращающуюся рамку на прикрепленной картинке? Я делаю что-то не так здесь?

Терминология тоже меня не смущает. Почему его называют «вращающимся» кадром, а не кадром, повернутым на $\theta$ ? Но тогда это также не имеет смысла, потому что в оригинальной статье нет $\theta$ ? Итак, что же они подразумевают под «вращением»?

Раджат Радхакришнан

Обновление: следующая ссылка дает действительно хороший отчет о методе вращения кадров. journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.26.167

Ответы (1)

удрв

Если $|\pm\rangle$ являются собственными векторами ${\hat \sigma}_x$ , ${\hat \sigma}_x |\pm\rangle = \pm |\pm\rangle$ , затем вращающийся $x$ -основа определяется как

| + ⟩ (т) "=" опыт (- я \frac{ю т}{2} {\hat{о}}_{Икс}) | + ⟩ "=" е^{- я ю т / 2} | + ⟩

$|+\rangle(t) = \exp\left(-i\frac{\omega t}{2} {\hat \sigma}_x\right)|+\rangle = e^{-i\omega t/2 } |+\rangle$

| - ⟩ (т) "=" опыт (- я \frac{ю т}{2} {\hat{о}}_{Икс}) | - ⟩ "=" е^{я ю т / 2} | - ⟩

$|-\rangle(t) = \exp\left(-i\frac{\omega t}{2} {\hat \sigma}_x\right)|-\rangle = e^{i\omega t/2 }|-\rangle$ Обратите внимание, что это все еще собственный базис

{\hat{σ}}_{x}

${\hat \sigma}_x$ ,

{\hat{σ}}_{x} | \pm ⟩ (t) = \pm | \pm ⟩ (t)

${\hat \sigma}_x |\pm\rangle(t) = \pm |\pm\rangle(t)$ . Проверьте, почему его называют вращающимся базисом, посмотрев на преобразование между

| \pm ⟩ (t)

$|\pm\rangle(t)$ и

| ↑ ⟩

$|\uparrow\rangle$ ,

| ↓ ⟩

$|\downarrow\rangle$ .

В данном случае принять $\omega = h$ и разреши $d_\pm(t)$ — коэффициенты разложения вектора состояния по вращающемуся базису, т. е.

| ψ (т) ⟩ "=" г_{+} (т) | + ⟩ (т) + г_{-} (т) | - ⟩ (т)

$|\psi(t)\rangle = d_+(t) |+\rangle(t) + d_-(t)|-\rangle(t)$ С

{\hat{σ}}_{z} | \pm ⟩ (t) = e^{\mp i h t / 2} | \mp ⟩

${\hat \sigma}_z |\pm\rangle(t) = e^{\mp i ht/2} |\mp \rangle$ , уравнение Шредингера дает

я \frac{г | ψ ⟩}{г т} "=" я {\dot{г}}_{+} | + ⟩ (т) + я г_{+} (т) \frac{г}{г т} | + ⟩ (т) + я {\dot{г}}_{-} (т) | - ⟩ (т) + я г_{-} (т) \frac{г}{г т} | - ⟩ (т) "="

$i \frac{d|\psi\rangle}{dt} = i {\dot d}_+ |+\rangle(t) + i d_+(t) \frac{d}{dt} |+\rangle(t) + i {\dot d}_-(t) |-\rangle(t) + i d_-(t) \frac{d}{dt} |-\rangle(t) =$

"=" я {\dot{г}}_{+} | + ⟩ (т) + \frac{час}{2} г_{+} (т) | + ⟩ (т) + я {\dot{г}}_{-} (т) | - ⟩ (т) - \frac{час}{2} г_{-} (т) | - ⟩ (т) "="

$= i {\dot d}_+ |+\rangle(t) + \frac{h}{2} d_+(t) |+\rangle(t) + i {\dot d}_-(t) |-\rangle(t) - \frac{h}{2} d_-(t) |-\rangle(t) =$

[\frac{Дж (т)}{2} г_{-} (т) е^{я час т} + \frac{час}{2} г_{+} (т)] | + ⟩ (т) + [\frac{Дж (т)}{2} г_{+} (т) е^{- я час т} - \frac{час}{2} г_{-} (т)] | - ⟩ (т)

$\left[ \frac{J(t)}{2} d_-(t)e^{iht} + \frac{h}{2}d_+(t)\right] |+\rangle(t) + \left[ \frac{J(t)}{2} d_+(t)e^{-iht} - \frac{h}{2}d_-(t)\right] |-\rangle(t)$ откуда после упрощения и отождествления следует

{\dot{г}}_{\pm} (т) "=" - я \frac{Дж (т)}{2} е^{\pm я час т} г_{\mp} (т)

${\dot d}_\pm(t) = - i \frac{J(t)}{2}e^{\pm iht} d_\mp(t)$ Это очень похоже на уравнение (4) в статье, но коэффициенты

d_{\pm} (t)

$d_\pm(t)$ еще не связаны с элементами матрицы

u_{11}

$u_{11}$ и

u_{21}

$u_{21}$ оператора эволюции

\hat{U}

${\hat U}$ , как того требует уравнение (3). Для получения последней, а вместе с ней и смысла функций

D_{\pm} (t)

$D_\pm(t)$ , давайте посмотрим на альтернативное выражение для

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ полученный путем применения

\hat{U} (t)

${\hat U}(t)$ к вектору начального состояния в z-базисе,

| ψ (0) ⟩ = c_{1} (0) | ↑ ⟩ + c_{2} (0) | ↓ ⟩

$|\psi(0) \rangle = c_1(0)|\uparrow\rangle + c_2(0)|\downarrow\rangle$ :

| ψ (т) ⟩ "=" \hat{U} (т) | ψ (0) ⟩ "=" с_{1} (0) \hat{U} (т) | ↑ ⟩ + с_{2} (0) \hat{U} (т) | ↓ ⟩ "="

$|\psi(t)\rangle = {\hat U}(t)|\psi(0) \rangle = c_1(0) {\hat U}(t)|\uparrow\rangle + c_2(0) {\hat U}(t)|\downarrow\rangle =$

"=" [{ты}_{11} (т) с_{1} (0) - {ты}_{21}^{*} (т) с_{2} (0)] | ↑ ⟩ + [{ты}_{21} (т) с_{1} (0) + {ты}_{11}^{*} (т) с_{2} (0)] | ↓ ⟩

$= \left[ u_{11}(t)c_1(0) - u^*_{21}(t) c_2(0)\right] |\uparrow\rangle + \left[ u_{21}(t) c_1(0) + u^*_{11}(t)c_2(0)\right]|\downarrow\rangle$ Если мы переключимся сейчас на x-базис, а затем на вращающийся x-базис, это будет читаться

| ψ (т) ⟩ "=" [{ты}_{11} (т) с_{1} (0) - {ты}_{21}^{*} (т) с_{2} (0)] \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ + | - ⟩) + [{ты}_{21} (т) с_{1} (0) + {ты}_{11}^{*} (т) с_{2} (0)] \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ - | - ⟩) "="

$|\psi(t)\rangle = \left[ u_{11}(t)c_1(0) - u^*_{21}(t) c_2(0)\right] \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) + \left[ u_{21}(t) c_1(0) + u^*_{11}(t)c_2(0)\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) =$

"=" [[\frac{1}{\sqrt{2}} ({ты}_{11} + {ты}_{21}) е^{я час т / 2}] с_{1} (0) + {[\frac{1}{\sqrt{2}} ({ты}_{11} - {ты}_{21}) е^{- я час т / 2}]}^{*} с_{2} (0)] | + ⟩ (т) +

$= \left[ \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} + u_{21} \right) e^{iht/2}\right] c_1(0) + \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} - u_{21} \right) e^{-iht/2}\right]^* c_2(0)\right] |+\rangle(t) +$

+ [[\frac{1}{\sqrt{2}} ({ты}_{11} - {ты}_{21}) е^{- я час т / 2}] с_{1} (0) - {[\frac{1}{\sqrt{2}} ({ты}_{11} + {ты}_{21}) е^{я час т / 2}]}^{*} с_{2} (0)] | - ⟩ (т) "="

$+ \left[ \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} - u_{21} \right) e^{-iht/2}\right] c_1(0) - \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} + u_{21} \right) e^{iht/2}\right]^* c_2(0)\right] |-\rangle(t) =$

"=" [Д_{+} (т) с_{1} (0) + Д_{-}^{*} (т) с_{2} (0)] | + ⟩ (т) + [Д_{-} (т) с_{1} (0) - Д_{+}^{*} (т) с_{2} (0)] | - ⟩ (т)

$= \left[ D_+(t) c_1(0) + D^*_-(t) c_2(0)\right] |+\rangle(t) + \left[ D_-(t) c_1(0) - D^*_+(t) c_2(0)\right] |-\rangle(t)$ Другими словами, функции

D_{\pm} (t)

$D_\pm(t)$ просто обеспечить удобную репараметризацию эволюции во вращающемся x-базисе.

Я оставляю в качестве упражнения вывод уравнения (4) из отождествления

г_{\pm} (т) "=" Д_{\pm} (т) с_{1} (0) \pm Д_{\mp}^{*} (т) с_{2} (0)

$d_\pm(t) = D_\pm(t) c_1(0) \pm D^*_\mp(t) c_2(0)$

(Подсказка: коэффициенты $c_1(0)$ , $c_2(0)$ являются произвольными).

Раджат Радхакришнан

Спасибо за этот обширный ответ по этому методу. Я не встречал этот процесс преобразования во вращающуюся систему координат ни в одном из стандартных учебников по QM или другой литературе. Хотя ваш ответ объясняет все, мне любопытно узнать, где вы наткнулись на этот метод.

удрв

Добро пожаловать. Приближение вращающейся системы отсчета часто встречается в двухуровневых моделях во многих версиях по аналогии с ларморовской прецессией со спином 1/2 в магнитных полях. Он широко используется в ЯМР и, как правило, с любыми электромагнитными спинами, двухуровневыми атомами и т. д. Вы, вероятно, можете найти что-то об этом в книгах по квантовой оптике, но для краткого понимания взгляните на дополнительные примечания к lanl.arxiv . .org/pdf/1508.06436v1 , вам нужно прокрутить весь путь от рисунков до уравнения (S1).

удрв

Кстати, вот еще один интересный подход к общим решениям рассматриваемой вами двухуровневой задачи: arxiv.org/pdf/quant-ph/0205170v1.pdf

Раджат Радхакришнан

В этом преобразовании мы только добавили фазовый фактор, зависящий от времени. Таким образом, вероятности остаются неизменными. Вместо того, чтобы быть хорошим математическим преобразованием, каков физический смысл этого преобразования во вращающуюся систему отсчета?

удрв

Обратите внимание, что зависящие от времени фазовые множители различны для двух собственных векторов

σ_{x}

$\sigma_x$ . Преобразование

\exp [- i (ω t / 2) {\hat{σ}}_{x}]

$\exp[-i(\omega t/2){\hat \sigma}_x]$ , что равносильно повороту на угол

ω t

$\omega t$ вокруг

x

$x$ -ось. Отсюда и название "вращающаяся рамка".

Раджат Радхакришнан

Но, тем не менее, это математический способ говорить правильно? Я имею в виду, как добиться такого вращения в реальном эксперименте?

удрв

В основном да. Если двухуровневая модель не соответствует физической частице со спином 1/2, то это формальное вращение, реализующее каноническое преобразование задачи к математически более удобному виду. Например, если система представляет собой двухуровневый атом, то

\hat{σ}

${\hat \sigma}$ операторы определяются в терминах проекторов и операторов перехода для двух энергетических уровней, определяющих систему. В этом случае «вращение» является строго формальным, зависящим от времени каноническим преобразованием, не имеющим эквивалента в виде физического вращения. Термин «вращающаяся рамка» просто переносится по аналогии.

удрв

Однако если двухуровневая система является фактическим спином 1/2, то

\hat{σ}

${\hat \sigma}$ -s - наблюдаемые физические вращения, связанные с физическими направлениями. В этом случае вы можете визуализировать «вращающуюся рамку», подвергающуюся вращению со скоростью

ω

$\omega$ вокруг

x

$x$ -ось в физическом пространстве, поспевающая за вращающимся вращением (ларморовская прецессия). Типичным примером, который можно легко сопоставить с вашей проблемой, является спин 1/2 в зависящем от времени магнитном поле, как в ЯМР и т. д.

Раджат Радхакришнан

Ооо... теперь мне все ясно. Спасибо, что нашли время ответить на мои вопросы.

удрв

Добро пожаловать, удачи!

Преобразование во вращающуюся рамку в основе xxx

СпросиСеть Политика конфиденциальности1y, 0v