Выражение собственных состояний L2L2\mathbf{L}^2 и LzLzL_z через декартовы собственные состояния |nxnynz⟩|nxnynz⟩|n_x\, n_y\, n_z\rangle

Я хочу выразить вырожденные собственные состояния трехмерного изотропного гармонического осциллятора, записанные как собственные состояния л 2 и л г , в терминах декартовых собственных состояний | н Икс н у н г ⟩ для первого возбужденного состояния, но я не уверен, как это сделать.

Я знаю, что первое возбужденное состояние трехкратно вырождено: н Икс "=" 1 или н у "=" 1 или н г "=" 1 , так н ≡ н Икс + н у + н г "=" 1 . Обозначьте сферическое состояние | н ℓ м ⟩ , поскольку мы знаем, что л г "=" я ℏ [ а Икс а у † − а Икс † а у ] , у нас есть

⟨ н Икс н у н г | л г | н ℓ м ⟩ "=" м ℏ ⟨ н Икс н у н г | н ℓ м ⟩ ⟨ н Икс н у н г | л г | н ℓ м ⟩ "=" я ℏ ⟨ н Икс н у н г | [ а Икс а у † − а Икс † а у ] | н ℓ м ⟩
что приводит к
м ⟨ н Икс н у н г | н ℓ м ⟩ "=" я ( н Икс + 1 ) н у ⟨ н Икс + 1 н у − 1 н г | н ℓ м ⟩ − я н Икс ( н у + 1 ) ⟨ н Икс − 1 н у + 1 н г | н ℓ м ⟩
Поэтому,
м ⟨ 1 0 0 | н л м ⟩ "=" − я ⟨ 0 1 0 | н л м ⟩ м ⟨ 0 1 0 | н л м ⟩ "=" + я ⟨ 1 0 0 | н л м ⟩ м ⟨ 0 0 1 | н л м ⟩ "=" 0
Кроме того, мы можем разложить | н л м ⟩ в | н Икс н у н г ⟩ основа
| н л м ⟩ "=" ∑ н Икс н у н г | н Икс н у н г ⟩ ⟨ н Икс н у н г | н л м ⟩
Так, например, я хочу разложить | 1 1 1 ⟩ н ℓ м
| 1 1 1 ⟩ "=" | 1 0 0 ⟩ ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ + | 0 1 0 ⟩ ⟨ 0 1 0 | 1 1 1 ⟩ + | 0 0 1 ⟩ ⟨ 0 0 1 | 1 1 1 ⟩ "=" | 1 0 0 ⟩ ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ + | 0 1 0 ⟩ ( я ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ ) "=" ( | 1 0 0 ⟩ + я | 0 1 0 ⟩ ) ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩

но я застрял здесь. не знаю как добиться результата

| 1 1 1 ⟩ "=" 1 2 | 1 0 0 ⟩ + я 2 | 0 1 0 ⟩
Как-то ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ оценивает 1 / 2 .

Заранее большое спасибо.

Ответы (1)

Вы знаете, что нормализация внутреннего произведения равна 1, т. е.

⟨ н л м   |   н л м ⟩ "=" 1

вы можете использовать эту информацию, чтобы найти значение ⟨ н Икс "=" 1 н у "=" 0 н г "=" 0   |   н "=" 1 л "=" 1 м "=" 1 ⟩ как,

⟨ 1 1 1 | 1 1 1 ⟩ "=" 1
оставив вам часть алгебры как часть упражнения*, вы получите,
1 "=" ( 1 + 1 ) | ⟨ 1 0 0   |   1 1 1 ⟩ | 2

то решение дает вам переходный элемент для ⟨ 1 0 0   |   1 1 1 ⟩ "=" 1 / 2

помнить | ф ⟩ † "=" ⟨ ф | а также условия ортогональности, когда и «бюстгальтер», и «кет» находятся в одном базисе.

Выражение собственных состояний L2L2\mathbf{L}^2 и LzLzL_z через декартовы собственные состояния |nxnynz⟩|nxnynz⟩|n_x\, n_y\, n_z\rangle
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v