Ожидаемое значение полного углового момента ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Question

Ожидаемое значение полного углового момента ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

зефир

[Я работаю с Griffiths Introduction to Quantum Mechanics, 3rd Edition. Моя проблема общая, но если вы хотите посмотреть, я читаю из главы 4.1, в которой вычисляется эффект Зеемана слабого поля, когда я застрял.]

Мы хотим рассчитать $E _{z} = e/2m * \vec B_{ext} \cdot < \vec J + \vec S>$

мы работаем так, что все, что нам нужно найти, это $<\vec J>$ .

я знаю это $\vec J = \vec L +\vec S$ , и поэтому $|\vec J|^2= |\vec L|^2+|\vec S|^2+\vec L \cdot \vec S$ где $|\vec L|^2 = \hbar l(l+1)$ и $|\vec s|^2 = \hbar s(s+1)$ в собственных состояниях атома водорода, но Гриффитс, по-видимому, не использует ни один из этих фактов и (после утверждения, что $z$ -ось будет т.е. вдоль $\vec B _{ext}$ состояния

$\vec B \cdot<\vec J> = \hbar m _{j}$

Может быть, я просто запутался в том, что такое J, но как мы переходим от одного к другому.

зефир

Ах, подождите, это потому, что система уже была в состоянии, которое было собственным значением полного углового момента (потому что при работе с точным расщеплением вырождение как S, так и L нарушается, тогда как J все еще коммутирует с гамильтонианом). Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь здесь!

Кайл Канос

Как что переходит от одного к другому? От первой строки до последней? Что-то среднее?

Ответы (1)

Ожидаемое значение полного углового момента ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Ах, подождите, это потому, что система уже была в состоянии, которое было собственным значением полного углового момента (потому что при работе с точным расщеплением вырождение как S, так и L нарушается, тогда как J все еще коммутирует с гамильтонианом). Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь здесь!
Как что переходит от одного к другому? От первой строки до последней? Что-то среднее?

пользователь82572 · Answer 1

Я не совсем уверен, каков ваш конкретный вопрос, поэтому я попытаюсь лучше объяснить, что Гриффитс делает в своей книге.

В теории возмущений первого порядка зеемановская поправка к энергии равна:

\begin{aligned} Е_{Z}^{1} & "=" ⟨ н л Дж м_{Дж} | {ЧАС}_{Z}^{'} | н л Дж м_{Дж} ⟩ \\ "=" ⟨ н л Дж м_{Дж} | \frac{е}{2 м} (л + 2 С) \cdot Б_{доб.} | н л Дж м_{Дж} ⟩ \\ "=" \frac{е}{2 м} Б_{доб.} \cdot ⟨ н л Дж м_{Дж} | (л + 2 С) | н л Дж м_{Дж} ⟩ \\ "=" \frac{е}{2 м} Б_{доб.} \cdot ⟨ л + 2 С ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} E_{Z}^{1} & = \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert H_{Z}^{\prime} \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert \frac{e}{2m}\left( L + 2S \right) \cdot B_{\text{ext}} \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert \left(L + 2S \right) \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot \langle L + 2S \rangle \end{align*}$

Но с тех пор $J = L + S$ , затем $L + 2S$ можно записать как $L = J + S$ . Поскольку полный угловой момент, $J$ , постоянна и $L$ и $S$ прецессировать вокруг $J$ , мы можем вычислить среднее по времени значение $S$ путем вычисления его проекции на $J$ :

С_{авеню} "=" \frac{(С \cdot Дж)}{{Дж}^{2}} Дж

$S_{\text{ave}} = \frac{\left( S \cdot J \right)}{J^{2}}J$

Итак, теперь нам нужно выяснить, что $S \cdot J$ есть, что не сразу видно. Но учтите следующее:

\begin{aligned} л^{2} & "=" (Дж - С) (Дж - С) "=" Дж \cdot Дж - 2 Дж \cdot С + С \cdot С \\ "=" {Дж}^{2} + С^{2} - 2 Дж \cdot С \end{aligned}

$\begin{align*} L^{2} & = \left( J - S \right) \left( J - S \right) = J \cdot J - 2J \cdot S + S \cdot S \\ & = J^{2} + S^{2} - 2J \cdot S \end{align*}$

Итак, если мы переформулируем это, мы получим выражение для $S \cdot J$ :

С \cdot Дж "=" \frac{1}{2} ({Дж}^{2} + С^{2} - л^{2})

$S \cdot J = \frac{1}{2}\left(J^{2} + S^{2} - L^{2} \right)$

Но мы знаем, что $J^{2} = j\left(j + 1\right)h^{2}$ , и аналогично с $S^{2}$ и $L^{2}$ ; поэтому наше выражение становится:

\begin{aligned} С \cdot Дж & "=" \frac{1}{2} [Дж (Дж + 1) ℏ^{2} + с (с + 1) ℏ^{2} - л (л + 1) ℏ^{2}] \\ "=" \frac{ℏ^{2}}{2} [Дж (Дж + 1) + с (с + 1) - л (л + 1)] \end{aligned}

$\begin{align*} S \cdot J & = \frac{1}{2}\left[j\left(j + 1\right)\hbar^{2} + s\left(s + 1\right)\hbar^{2} - l\left(l + 1\right)\hbar^{2} \right] \\ & = \frac{\hbar^{2}}{2}\left[j\left(j + 1\right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right] \end{align*}$

Отсюда следует, что:

\begin{aligned} ⟨ л + 2 С ⟩ & "=" ⟨ Дж + С ⟩ \\ "=" ⟨ (1 + \frac{С \cdot Дж}{{Дж}^{2}}) Дж ⟩ \\ "=" [1 + \frac{\frac{ℏ^{2}}{2} [Дж (Дж + 1) + с (с + 1) - л (л + 1)]}{Дж (Дж + 1) ℏ^{2}}] ⟨ Дж ⟩ \\ "=" [1 + \frac{[Дж (Дж + 1) + с (с + 1) - л (л + 1)]}{2 Дж (Дж + 1)}] ⟨ Дж ⟩ \\ "=" г_{Дж} ⟨ Дж ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} \langle L + 2S \rangle & = \langle J + S \rangle \\ & = \langle \left( 1 + \frac{S \cdot J}{J^{2}} \right)J \rangle \\ & = \left[ 1 + \frac{\frac{\hbar^{2}}{2}\left[j\left(j + 1 \right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right]}{j\left(j + 1\right)\hbar^{2}}\right]\langle J \rangle \\ & = \left[ 1 + \frac{\left[j\left(j + 1 \right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right]}{2j\left(j + 1\right)}\right]\langle J \rangle \\ & = g_{J}\langle J \rangle \end{align*}$

где $g_{J}$ - g-фактор Ланде.

Напомним наше выражение для поправки первого порядка к энергии:

Е_{Z}^{1} "=" \frac{е}{2 м} Б_{доб.} \cdot ⟨ л + 2 С ⟩

$E_{Z}^{1} = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}}\cdot \langle L + 2S \rangle$

Мы только что показали, что $\langle L + 2S \rangle = g_{J} \langle J \rangle$ , поэтому имеем:

Е_{Z}^{1} "=" \frac{е}{2 м} Б_{доб.} \cdot г_{Дж} ⟨ Дж ⟩

$E_{Z}^{1} = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot g_{J} \langle J \rangle$

В этот момент мы можем выбрать ось Z так, чтобы она лежала вдоль направления $B_{\text{ext}}$ . В этом случае, $B_{\text{ext}} \cdot \langle J \rangle = B_{\text{ext}} \langle J_{z} \rangle$ . Конечно, ожидаемая стоимость $\langle J_{z} \rangle = \hbar m_{j}$ , и так имеем:

\begin{aligned} Е_{Z}^{1} & "=" \frac{ℏ е}{2 м} Б_{доб.} г_{Дж} м_{Дж} \\ "=" {мю}_{Б} Б_{доб.} г_{Дж} м_{Дж} \end{aligned}

$\begin{align*} E_{Z}^{1} & = \frac{\hbar e}{2m}B_{\text{ext}}g_{J}m_{j} \\ & = \mu_{B} B_{\text{ext}}g_{J}m_{j} \end{align*}$

где $\mu_{B}$ магнетон Бора.

Ожидаемое значение полного углового момента ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

зефир

зефир

Кайл Канос

Ответы (1)

пользователь82572

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Проблема углового момента в квантовой механике

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Ожидаемое значение оператора положения для состояний углового момента

Преобразование во вращающуюся рамку в основе xxx

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга