L ( β ) =р− 1⋅л3(α3) ⋅л2(α2) ⋅л1(α1)(а)
α1"="β1,α2"="β21 —β21−−−−−√,α3"="β31 - (β21+β22)−−−−−−−−−−−√(б)
R =космическое вращение(с)
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ _
![введите описание изображения здесь](https://i.stack.imgur.com/tCpUS.png)
Рисунок-01 3D
Из рисунка 01:
Преобразование Лоренца изS ≡{хугω , ω знак равно с т }
кС1≡ {Икс1у1г1ю1,ю1= ст1}
⎡⎣⎢⎢⎢Икс1у1г1ю1⎤⎦⎥⎥⎥"="⎡⎣⎢⎢⎢−чушьξ00− грехξ−0−1−0−0−0−0−1−0− грехξ00−чушьξ⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢Иксугю⎤⎦⎥⎥⎥,танхξ"="α1"="ты1с(01)
или
Вт1"="л1Вт,л1"="⎡⎣⎢⎢⎢−чушьξ00− грехξ−0−1−0−0−0−0−1−0− грехξ00−чушьξ⎤⎦⎥⎥⎥(02)
Преобразование Лоренца изС1≡ {Икс1у1г1ю1,ю1= ст1}
кС2≡ {Икс2у2г2ю2,ю2= ст2}
⎡⎣⎢⎢⎢Икс2у2г2ю2⎤⎦⎥⎥⎥"="⎡⎣⎢⎢⎢1000−0−чушьη−0− грехη−0−0−1−0−0− грехη0−чушьη⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢Икс1у1г1ю1⎤⎦⎥⎥⎥,танхη"="α2"="ты2с(03)
или
Вт2"="л2Вт1,л2"="⎡⎣⎢⎢⎢1000−0−чушьη−0− грехη−0−0−1−0−0− грехη0−чушьη⎤⎦⎥⎥⎥(04)
Преобразование Лоренца изС2≡ {Икс2у2г2ю2,ю2= ст2}
кС3≡ {Икс3у3г3ю3,ю3= ст3}
⎡⎣⎢⎢⎢Икс3у3г3ю3⎤⎦⎥⎥⎥"="⎡⎣⎢⎢⎢1000−0−1−0−0−0−0−чушьζ− грехζ−0−0− грехζ−чушьζ⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢Икс2у2г2ю2⎤⎦⎥⎥⎥,танхζ"="α3"="ты3с(05)
или
Вт3"="л3Вт2,л3"="⎡⎣⎢⎢⎢1000−0−1−0−0−0−0−чушьζ− грехζ−0−0− грехζ−чушьζ⎤⎦⎥⎥⎥(06)
Обратите внимание, что из-за стандартных конфигураций матрицыл1,л2,л3
действительно симметричны.
Из уравнений(02)
,(04)
и(06)
у нас есть
Вт3"="л3Вт2"="л3л2Вт1"="л3л2л1Вт⟹Вт3= ΛВт(07)
где
Λ
композиция трех преобразований Лоренца
л1,л2,л3
Λ =л3л2л1"="⎡⎣⎢⎢⎢1000−0−1−0−0−0−0−чушьζ− грехζ−0−0− грехζ−чушьζ⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢1000−0−чушьη−0− грехη−0−0−1−0−0− грехη0−чушьη⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢−чушьξ00− грехξ−0−1−0−0−0−0−1−0− грехξ00−чушьξ⎤⎦⎥⎥⎥(08)
то есть
Λ =л3л2л1"="⎡⎣⎢⎢⎢−чушьξ−грехηгрехξ−грехζчушьηгрехξ− кошζчушьηгрехξ−0−чушьη−грехζгрехη− кошζгрехη−0−0−чушьζ− грехζ− грехξ− грехηчушьξ− грехζчушьηчушьξ−чушьζчушьηчушьξ⎤⎦⎥⎥⎥(09)
Матрица преобразования Лоренца
Λ
несимметрична, поэтому системы
С ,С3
не в стандартной конфигурации. Но разумно предположить, что
Λ = R ⋅ L(10)
где
л
представляет собой симметричную матрицу преобразования Лоренца из
С
к промежуточной системе
С′3
в стандартной комплектации к нему и совместному переезду с
С3
, пока
р
представляет собой чисто пространственное преобразование между
С′3
и
С3
.
Теперь нашей целью было бы выразить симметричную матрицу преобразования Лоренцал
с точки зрения скоростейξ, п, ζ
так как от(10)
р =Λ⋅л− 1(11)
Матрица преобразования Лоренцал
, отС
в промежуточную системуС′3
в стандартной конфигурации к нему, это:
L ( υ ) =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+( γ−1 )н2Икс( γ−1 )нунИкс( γ−1 )нгнИкс−γυИксс( γ−1 )нИксну1+( γ−1 )н2у( γ−1 )нгну−γυус( γ−1 )нИкснг( γ−1 )нунг1+( γ−1 )н2г−γυгс−γυИксс−γυус−γυгсγ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(12)
В
(12)
υс(υс)2γн= (υИксс,υус,υгс) = ( танхξ,танхηчушьξ,танхζчушьξчушьη) ≡β= (β1,β2,β3, )"="(υИксс)2+(υус)2+(υгс)2= 1 -(1чушьξчушьηчушьζ)2"="γ2−1γ2"="(1−υ2с2)−12= чепухаξчушьηчушьζ"="γ1γ2γ3= (нИкс,ну,нг) =υ / сυ / с"="( грехξчушьηчушьζ, грехηчушьζ, грехζ)чушь2ξчушь2ηчушь2ζ− 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(13.1)(13.2)(13.3)(13.4)
где
υ
- вектор скорости начала координат
О′3( ≡О3)
в отношении
С
(1) ,
н
единичный вектор вдоль
υ
и
γ
соответствующий
γ−
фактор.
Итак, матрицаL ( υ )
уравнения(12)
как функция скоростейξ, п, ζ
это (2)
L ( υ ) = L ( ξ, п, ζ) =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+грех2ξчушь2ηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηгрехηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ− грехξчушьηчушьζгрехξчушьηгрехηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζ1+грех2ηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ− грехηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ1+грех2ζ1+чушьξчушьηчушьζ− грехζ− грехξчушьηчушьζ− грехηчушьζ− грехζчушьξчушьηчушьζ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(14)
пока
л− 1( υ ) = L ( - υ ) = L ( - ξ, − η, − ζ) =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+грех2ξчушь2ηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηгрехηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехξчушьηгрехηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζ1+грех2ηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ1+грех2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехζгрехξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζчушьξчушьηчушьζ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(15)
Из уравнений(09)
,(11)
и(15)
р =Λ⋅л− 1"="⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−чушьξ−грехηгрехξ−грехζчушьηгрехξ− кошζчушьηгрехξ−0−чушьη−грехζгрехη− кошζгрехη−0−0−чушьζ− грехζ− грехξаб− грехηчушьξаб− грехζчушьηчушьξаб−чушьζчушьηчушьξаб⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1+грех2ξчушь2ηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηгрехηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехξчушьηгрехηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζ1+грех2ηчушь2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехξчушьηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ1+грех2ζ1+чушьξчушьηчушьζгрехζгрехξчушьηчушьζгрехηчушьζгрехζчушьξчушьηчушьζ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥"="⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢чушьξ+чушьηчушьζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξгрехη1+чушьξчушьηчушьηгрехξчушьηгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ0−грехξгрехηчушьζ1+чушьξчушьηчушьζ−чушьη+чушьζчушьξ1+чушьξчушьηчушьζгрехηгрехζ1+чушьξчушьηчушьη0−грехξгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ−чушьξгрехηгрехζ1+чушьξчушьηчушьζчушьζ+чушьξчушьη1+чушьξчушьηчушьζ00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(16)
Р =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢чушьξ+чушьηчушьζ1+чушьξчушьηчушьζгрехξгрехη1+чушьξчушьηчушьηгрехξчушьηгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ−грехξгрехηчушьζ1+чушьξчушьηчушьζ−чушьη+чушьζчушьξ1+чушьξчушьηчушьζгрехηгрехζ1+чушьξчушьηчушьη−грехξгрехζ1+чушьξчушьηчушьζ−чушьξгрехηгрехζ1+чушьξчушьηчушьζчушьζ+чушьξчушьη1+чушьξчушьηчушьζ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(17)
Р =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢потому чтоθ + ( 1 - потому чтоθ )м2Икс( 1 - потому чтоθ )мумИкс− грехθмг( 1 - потому чтоθ )мгмИкс+ грехθму( 1 - потому чтоθ )мИксму+ грехθмгпотому чтоθ + ( 1 - потому чтоθ )м2у( 1 - потому чтоθ )мгму− грехθмИкс( 1 - потому чтоθ )мИксмг− грехθму( 1 - потому чтоθ )мумг+ грехθмИкспотому чтоθ + ( 1 - потому чтоθ )м2г⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(18)
2 косθ + 1 знак равно т р а c е ( р ) знак равно( кошξ+чушьη+чушьζ)+( кошξчушьη+чушьηчушьζ+чушьζчушьξ)( 1+чушьξчушьηчушьζ)( 1+чушьξ) ( 1+чушьη) ( 1+чушьζ) − ( 1+чушьξчушьηчушьζ)( 1+чушьξчушьηчушьζ)(19)
потому чтоθ =( 1+чушьξ) ( 1+чушьη) ( 1+чушьζ) − 2 ( 1+чушьξчушьηчушьζ)2 ( 1+чушьξчушьηчушьζ)(20)
потому чтоθ =( 1+γ1) ( 1+γ2) ( 1+γ3) − 2 ( 1+γ1γ2γ3)2 ( 1+γ1γ2γ3),γȷ"="( 1−αȷ)−12абсд(21)
грехθмИксгрехθмугрехθмг= -( 1+чушьξ) грехηгрехζ2 ( 1+чушьξчушьηчушьζ)= +( 1+чушьη) грехζгрехξ2 ( 1+чушьξчушьηчушьζ)= -( 1+чушьζ) грехηгрехξ2 ( 1+чушьξчушьηчушьζ)(22.1)(22.2)(22.3)
грехθγȷ"="( 1+γ1)2(γ22−1 ) (γ23−1 )+( 1+γ2)2(γ23−1 ) (γ21−1 )+( 1+γ3)2(γ21−1 ) (γ22−1 )−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2 ( 1+γ1γ2γ3)"="( 1−αȷ)−12,θ ∈ [ 0 , π](23)
загарθγȷ"="( 1+γ1)2(γ22−1 ) (γ23−1 )+( 1+γ2)2(γ23−1 ) (γ21−1 )+( 1+γ3)2(γ21−1 ) (γ22−1 )−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√( 1+γ1) ( 1+γ2) ( 1+γ3) − 2 ( 1+γ1γ2γ3)"="( 1−αȷ)−12,θ ∈ [ 0 , π](24)
мγȷ"="[ (1+γ1)(γ22−1 )12(γ23−1 )12,( 1+γ2)(γ23−1 )12(γ21−1 )12,( 1+γ3)2(γ21−1 )12(γ22−1 )12]( 1+γ1)2(γ22−1 ) (γ23−1 )+( 1+γ2)2(γ23−1 ) (γ21−1 )+( 1+γ3)2(γ21−1 ) (γ22−1 )−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√"="( 1−αȷ)−12,θ ∈ [ 0 , π](25)
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ _
Рисунок-02 3D
(1) см. ПРИЛОЖЕНИЕ C – Релятивистское сложение скоростей
(2) см. ПРИЛОЖЕНИЕ B – Матрица L
(3) Строительствоα
отβ
Двагг
Джузеппе Негро
пользователь178876
Фробениус
Джузеппе Негро
Фробениус
Фробениус