Может ли шанс найти частицу со временем уменьшиться?

Question

Может ли шанс найти частицу со временем уменьшиться?

Кальмариус

Предположим, что у нас есть волновая функция, описываемая волновым уравнением, и она является функцией пространства и времени. $\psi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{C}$ .

Эту функцию необходимо нормализовать, поэтому, если я хорошо понял нотацию скобок :

⟨ ψ | ψ ⟩ "=" \iint_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (Икс, т) ψ (Икс, т) г Икс г т "=" 1

$\langle \psi | \psi \rangle = {\iint}_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t) \psi(x,t)dx dt = 1$

(звездочка означает сопряжение.)

Но я вижу здесь некоторые проблемы:

Волновые функции обратимы во времени, это означает, что половина из них в прошлом, а это означает, что существует 50% вероятность того, что частица вообще никогда не будет найдена.
Чтобы получить конечное значение для полного интеграла области, значение функции должно приближаться к нулю по мере приближения к бесконечности. Это означало бы, что обнаружение частицы со временем уменьшается. Это интересно, потому что, если нет ничего, что могло бы его измерить, то оно ушло навсегда.

Я что-то упустил или это интеграл только по пространству, а не по времени?

Марк Митчисон

В любой момент времени вероятность найти частицу равна единице. Таким образом, в вашем уравнении не должно быть интеграла по времени.

Николай-К

@MarkMitchison: Это правильный ответ. Я не решался сделать тот же комментарий, потому что ОП действительно упоминает об этом в своем первом пункте. Мы всегда можем исходить из того, что «насколько мы можем судить, это просто работает», но я хотел бы знать, будет ли теория, в которой в какой-то момент есть шанс не найти частицу в использовать. У меня нет серьезных аргументов против теории, которая говорит вам, что «за 5 секунд, даже если вы посмотрите везде сразу, шанс найти частицу составляет всего 80%».

Марк Митчисон

@NikolajK Конечно, вы можете представить себе частицу в квадратном колодце с конечной вероятностью туннелирования с течением времени. Если вы хотите описать это с помощью волновой функции только для позиций внутри квадратной ямы, вы можете ввести мнимый член в гамильтониан. Это уменьшает норму волновой функции с течением времени, что говорит вам о том, что вероятность того, что частица останется в яме, со временем уменьшается.

Николай-К

@MarkMitchison: Правильно, знаете ли вы навскидку, помещаются ли сложные энергетические модели каким-то образом в теорию, которая уважает «аксиомы квантовой механики» (особенно унитарной эволюции во времени), или эти случаи считаются отклонением от нее ( инструмент для моделирования определенных эффектов, не углубляясь в более подробную версию QM, где унитарность снова имеет место.)

Марк Митчисон

@NikolajK Нет, сложные энергетические модели точно не унитарны, так как не сохраняют норму.

Ответы (2)

Может ли шанс найти частицу со временем уменьшиться?

В любой момент времени вероятность найти частицу равна единице. Таким образом, в вашем уравнении не должно быть интеграла по времени.
@MarkMitchison: Это правильный ответ. Я не решался сделать тот же комментарий, потому что ОП действительно упоминает об этом в своем первом пункте. Мы всегда можем исходить из того, что «насколько мы можем судить, это просто работает», но я хотел бы знать, будет ли теория, в которой в какой-то момент есть шанс не найти частицу в использовать. У меня нет серьезных аргументов против теории, которая говорит вам, что «за 5 секунд, даже если вы посмотрите везде сразу, шанс найти частицу составляет всего 80%».
@NikolajK Конечно, вы можете представить себе частицу в квадратном колодце с конечной вероятностью туннелирования с течением времени. Если вы хотите описать это с помощью волновой функции только для позиций внутри квадратной ямы, вы можете ввести мнимый член в гамильтониан. Это уменьшает норму волновой функции с течением времени, что говорит вам о том, что вероятность того, что частица останется в яме, со временем уменьшается.
@MarkMitchison: Правильно, знаете ли вы навскидку, помещаются ли сложные энергетические модели каким-то образом в теорию, которая уважает «аксиомы квантовой механики» (особенно унитарной эволюции во времени), или эти случаи считаются отклонением от нее ( инструмент для моделирования определенных эффектов, не углубляясь в более подробную версию QM, где унитарность снова имеет место.)
@NikolajK Нет, сложные энергетические модели точно не унитарны, так как не сохраняют норму.

ГЛС · Answer 1

Где вы взяли эту формулу? Правильная нормировка не включает интеграл по времени.

Обозначая с $| \psi(t) \rangle$ состояние в то время $t$ , условие нормализации гласит

\begin{matrix} (А) & ⟨ ψ (т) | ψ (т) ⟩ "=" \int г^{3} Икс | ψ (Икс, т) |^{2} "=" 1, \forall т . \end{matrix}

$\tag{A} \langle \psi(t) | \psi(t) \rangle = \int d^3 x | \psi(x,t) |^2 = 1, \forall t.$ Это говорит вам о том, что в любое время $t$ частица должна быть где-то .

Более того, унитарность эволюции времени говорит вам, что в любое время $t$ пространственный интеграл в (A) равен 1, поэтому, если вы также проинтегрируете по времени, вы получите тривиально бесконечный результат. Наоборот, если сообщаемый вами интеграл конечен, эволюция не может быть унитарной.

Наверное, потому что я не вижу $\psi(t)$ в тормозах, просто $\psi$ или другие буквы, которые навели меня на мысль, что элементы гильбертова пространства содержат все пространство-время, а не только их пространственную часть в данный момент. Это может быть очевидно для автора, но не для меня. Никто не указывал на это нигде в текстах, которые я нашел в Интернете. Мне также нужно было сыграть то же самое с лапласианом, чтобы узнать, что он тоже только космос...
@Calmarius, я не собирался быть грубым! Я просто спросил, потому что могу представить себе ситуацию, когда эволюция неунитарна и тому подобное (см., например, ответ Phoenix87), хотя я не эксперт в этих вопросах. Так что, если вы нашли это уравнение в каком-то конкретном тексте, возможно, они имели в виду что-то другое. Но я вижу, что это не так.
Я нигде не нашел эту формулу. Обычно математические гильбертовы пространства и нотация скобки вводятся с использованием функции, которая имеет только 1 переменную, и я подумал, что это легко обобщается и на 4-мерные функции. Поэтому я подумал, что со временем мне тоже нужно интегрироваться.

Феникс87 · Answer 2

Чтобы ответить на заголовок, в котором не указана область интеграции , ответ - да, если не рассматривается все пространство конфигурации.

Пусть для конкретности $\Gamma$ быть конфигурационным пространством вашей системы, и пусть $D$ быть любым (борелевским) подмножеством $\Gamma$ . Учитывая, что частица описывается зависящей от времени волновой функцией $\psi:\mathbb R\to L^2(\Gamma)$ , вероятность найти его в домене $D$ в то время $t$ является

{Пр}_{ψ} (т, Д) "=" \int_{Д} | ψ (т, Икс) |^{2} г Ом (Икс),

$\text{Pr}_\psi(t,D) = \int_D|\psi(t,x)|^2\text d\Omega(x),$ где

Ω

$\Omega$ является регулярной вероятностной мерой на

Γ

$\Gamma$ (обычно мера Лебега, когда

Γ = R^{n}

$\Gamma = \mathbb R^n$ ). Эта вероятность может уменьшаться со временем, но поскольку полная вероятность нахождения частицы в

Γ

$\Gamma$ равно 1, это означает, что вероятность нахождения частицы возрастает в дополнении

Γ ∖ D

$\Gamma\smallsetminus D$ . Физическая интерпретация этого поведения заключается в том, что частица в среднем удаляется от области

D

$D$ к другим областям конфигурационного пространства.

Мне нужно многому научиться, чтобы полностью понять этот ответ. Пока мне нужно искать «конфигурационное пространство», «борелевское подмножество», «обычная вероятностная мера», «мера Лебега». Поэтому мне нужно спросить, даже если это подразумевается: подразумевает ли ваш ответ, что частица всегда должна находиться где-то в конфигурационном пространстве все время? Значит, он не может просто так пропасть?
Да, должна быть область, где вероятность найти вашу частицу отлична от нуля. Он не может пропасть, потому что уравнение Шрёдингера подразумевает закон сохранения для $|\psi(t,x)|^2$ .

Может ли шанс найти частицу со временем уменьшиться?

Кальмариус

Марк Митчисон

Николай-К

Марк Митчисон

Николай-К

Марк Митчисон

Ответы (2)

ГЛС

Кальмариус

ГЛС

Кальмариус

Феникс87

Кальмариус

Феникс87

Кто занимается нормализацией волновой функции во временной эволюции волновой функции?

Эволюция состояния во времени

«Пульсируют» ли атомные орбитали во времени?

Что развивается со временем?

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Матричные элементы гамильтониана свободной частицы

Эволюция волнового пакета во времени

Почему мы рассматриваем эволюцию (обычно во времени) волновой функции?

Изменяет ли измерение эволюцию волновой функции?

Пропагатор в нормальных режимах