Наивные вопросы о понятии эффективного лагранжиана и уравнениях движения?

Question

Наивные вопросы о понятии эффективного лагранжиана и уравнениях движения?

Кай Ли

Рассмотрим LC-контур, содержащий электрический дипольный момент, квантовую систему (электрическое поле $E$ в сочетании с дипольным моментом) можно описать интегралом по траекториям

Z "=" \int Д Е Д Икс е^{я \int г т л},

$Z=\int DEDxe^{i\int dtL},$ где полный лагранжиан

л "=" \frac{1}{2 г} ({\dot{Е}}^{2} - ю_{л С}^{2} Е^{2}) + \frac{м}{2} {\dot{Икс}}^{2} - \frac{м ю_{0}^{2}}{2} {Икс}^{2} + е Икс Е .

$L=\frac{1}{2g}(\dot{E}^2-\omega _{LC}^2E^2)+\frac{m}{2}\dot{x}^2-\frac{m\omega _{0}^2}{2}x^2+exE.$ После интегрирования диполя

x

$x$ , получаем эффективный лагранжиан

L_{e f f}

$L_{eff}$ для электрического поля

л_{е ф ф} "=" \frac{1}{2 г} ({\dot{Е}}^{2} - ю_{л С}^{2} Е^{2}) + \frac{е^{2}}{2 м} Е (\partial_{т}^{2} + ю_{0}^{2})^{- 1} Е .

$L_{eff}=\frac{1}{2g}(\dot{E}^2-\omega _{LC}^2E^2)+\frac{e^2}{2m}E(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1}E.$

С другой стороны, с классической точки зрения , решая полный лагранжиан $L$ , можно получить уравнение движения 4- го порядка для электрического поля

\begin{matrix} (а) & [\partial_{т}^{4} + (ю_{0}^{2} + ю_{л С}^{2}) \partial_{т}^{2} + ю_{0}^{2} ю_{л С}^{2} - \frac{е^{2} г}{м}] Е "=" 0. \end{matrix}

$[\partial_t^4+(\omega _{0}^2+\omega _{LC}^2)\partial_t^2+\omega _{0}^2\omega _{LC}^2-\frac{e^2g}{m}]E=0.\tag{a}$

Мои вопросы:

Может ли второй срок в $L_{eff}$ быть записана как функция $\dot{E}$ и $E$ ?
Можем ли мы вывести уравнение «Эйлера-Лагранжиана» из эффективного лагранжиана $L_{eff}$ ? Если да, то совпадает ли это уравнение с приведенным выше уравнением движения 4- го порядка? $(a)$ классической системы?
Можем ли мы построить другой эффективный лагранжиан из классической динамики , которая приводит к уравнению $(a)$ ? Имеет ли смысл понятие эффективного лагранжиана ТОЛЬКО для квантовой системы ?

Кай Ли

Я думаю, что теперь я могу ответить на свой вопрос 3: классически, без метода интеграла по путям, выразить

x

$x$ с точки зрения

E

$E$ путем решения уравнения Эйлера-Лагранжа для

x

$x$ полученный из полного лагранжиана

L

$L$ , затем замените

x

$x$ Вернуться в

L

$L$ , и мы получим тот же эффективный лагранжиан

L_{e f f}

$L_{eff}$ содержащий только

E

$E$ .

сяохуамао

Я помню, что то, что можно получить от ЭОМов

L

$L$ соответствующий

H

$H$ можно рассматривать не только как классические ЭОМ, но и как операторные уравнения в смысле канонического квантования. Как показано вами, классический

L_{e f f}

$L_{eff}$ равен квант

L_{e f f}

$L_{eff}$ . Следовательно, я предполагаю, что это просто означает, что каноническое квантование воспроизводит тот же результат, что и интеграл по путям. Все равно не уверен... Как думаешь?

Ответы (2)

Наивные вопросы о понятии эффективного лагранжиана и уравнениях движения?

Я думаю, что теперь я могу ответить на свой вопрос 3: классически, без метода интеграла по путям, выразить $x$ с точки зрения $E$ путем решения уравнения Эйлера-Лагранжа для $x$ полученный из полного лагранжиана $L$ , затем замените $x$ Вернуться в $L$ , и мы получим тот же эффективный лагранжиан $L_{eff}$ содержащий только $E$ .
Я помню, что то, что можно получить от ЭОМов $L$ соответствующий $H$ можно рассматривать не только как классические ЭОМ, но и как операторные уравнения в смысле канонического квантования. Как показано вами, классический $L_{eff}$ равен квант $L_{eff}$ . Следовательно, я предполагаю, что это просто означает, что каноническое квантование воспроизводит тот же результат, что и интеграл по путям. Все равно не уверен... Как думаешь?

Тримок · Answer 1

1: я так не думаю

2 : Обратите внимание, что $L_{eff}$ , можно записать, благодаря интегрированию по частям $(\partial_t E)^2 = \partial_t(E\partial_t E) - E \partial_t^2E$ , и пренебрегая поверхностным членом из-за полной производной :

\begin{matrix} (1) & л_{е ф ф} "=" Е (\frac{1}{2 г} (- \partial_{т}^{2} - ю_{л С}^{2}) + \frac{е^{2}}{2 м} (\partial_{т}^{2} + ю_{0}^{2})^{- 1}) Е \end{matrix}

$L_{eff}=E\quad (\frac{1}{2g}(-\partial_t^2 -\omega _{LC}^2)+\frac{e^2}{2m}(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1})\quad E \tag{1}$

Тогда уравнение движения:

\begin{matrix} (2) & (\frac{1}{2 г} (- \partial_{т}^{2} - ю_{л С}^{2}) + \frac{е^{2}}{2 м} (\partial_{т}^{2} + ю_{0}^{2})^{- 1}) Е "=" 0 \end{matrix}

$(\frac{1}{2g}(-\partial_t^2 -\omega _{LC}^2)+\frac{e^2}{2m}(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1})\quad E = 0 \tag{2}$

Умножение $(2)$ к $(\partial_t^2+\omega _{0}^2)$ дает вам уравнение $(a)$

3: Различные лагранжианы могут давать одно и то же уравнение движения.

Вау, ваше объяснение Q2 очень ясное, большое спасибо. Кстати, я не понимаю, как вы получаете уравнение (2) из лагранжиана (1)? Я знаю только так называемое уравнение Эйлера-Лагранжа, полученное из обычного лагранжиана $L(E,\dot{E})$ которая является функцией только переменных координаты и скорости.
@K-boy: Я признаю, что это скорее формальное происхождение, чем стандартное. Я полагаю здесь, что лагранжиан вида $L_{eff}=E\, O \, E$ , где $O$ является оператором, соответствует уравнениям движения $O \,E=0$ , так как в некотором смысле лагранжиан зависит только от $E$ (и не на $\dot E$ ), так что вы можете формально применить уравнения Эйлера-Лагранжа, здесь $\frac{\partial L_{eff}}{\partial E} = 0$
: Вдохновленный вашим комментарием, существует ли принцип наименьшего действия для эффективного действия $S_{eff}=\int dtL_{eff}$ , а далее оператор $O$ считается положительным , то $OE=0$ может быть одним из возможных решений. Итак, каково ваше мнение?
Должен признаться, я не понимаю, почему позитивность $O$ здесь должно быть важно.
Если $O$ не положительна, то существует функция $f(t)$ такой, что $\int dtfOf<0=\int dtEOE$ , где $OE=0$ , а это означает, что решение $E$ НЕ соответствует минимальному действию $S_{eff}$ .
Уравнения Эйлера-Лагранжа дают решения, которые могут быть локальным (или глобальным) максимумом или минимумом для действия. Так что ваша задача — убедиться, что это минимум, если вы ищете такое решение.
И математически говоря, $OE=0$ не всегда дает правильное уравнение движения. Например, возьмем $O=\partial _t$ , затем $OE=0$ дает уравнение $\partial _tE=0$ , а уравнение Эйлера-Лагранжа дает тривиальное уравнение $\partial _tE=\partial _tE$ . И здесь $O=\partial _t$ НЕ является положительным .
Да исправить. Но все лагранжианы с видом $E\dot E$ являются особенными, потому что, да, вы не можете получить никакого уравнения движения. Таким образом, мы, вероятно, должны ограничиться дифференциальными операторами второго порядка.

Qмеханик · Answer 2

Система ОП представляет собой два связанных гармонических осциллятора .

\begin{matrix} (1) & л "=" \frac{1}{2} (м {\dot{Икс}}^{2} - к {Икс}^{2}) + \frac{1}{2} (М {\dot{у}}^{2} - К у^{2}) - κ Икс у . \end{matrix}

$\tag{1} L~=~\frac{1}{2}(m\dot{x}^2 - k x^2) + \frac{1}{2}(M\dot{y}^2 - K y^2) - \kappa xy.$

Кажется высокой ценой за создание нелокальной формулировки путем интегрирования одной переменной грубой силой, как это делает OP. Вместо этого мы находим нормальные моды системы двух связанных гармонических осцилляторов.

Уравнения движения

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} \ddot{Икс} \\ \ddot{у} \end{matrix}) "=" - Λ (\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}), Λ "=" (\begin{matrix} \frac{к}{м} & \frac{κ}{м} \\ \frac{κ}{М} & \frac{К}{М} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\tag{2} \begin{pmatrix}\ddot{x} \\ \ddot{y}\end{pmatrix} ~=~- \Lambda \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}, \qquad \Lambda ~:=~ \begin{pmatrix}\frac{k}{m}&\frac{\kappa}{m} \\ \frac{\kappa}{M} &\frac{K}{M} \end{pmatrix}.$

Интересно, настоящий $2\times 2$ матрица $\Lambda$ не симметричен, если $m\neq M$ . Два собственных значения $\Lambda$ настоящие

\begin{matrix} (3) & λ_{\pm} "=" \frac{т р (М)}{2} \pm \sqrt{Δ}, \end{matrix}

$\tag{3} \lambda_{\pm} ~=~ \frac{{\rm tr}(M)}{2} \pm \sqrt{\Delta},$

\begin{matrix} (4) & Δ "=" {(\frac{т р (М)}{2})}^{2} - дет (М) \geq 0. \end{matrix}

$\tag{4} \Delta~:=~\left(\frac{{\rm tr}(M)}{2}\right)^2-\det(M)~\geq~0.$

Если матрица $T$ диагонализует матрицу

\begin{matrix} (5) & Λ "=" Т Д Т^{- 1}, Д "=" (\begin{matrix} λ_{+} & 0 \\ 0 & λ_{-} \end{matrix}), \end{matrix}

$\tag{5}\Lambda~=~TDT^{-1}, \qquad D ~:=~ \begin{pmatrix}\lambda_+&0\\ 0 &\lambda_- \end{pmatrix},$

затем определите новые переменные

\begin{matrix} (6) & (\begin{matrix} {Икс}_{+} \\ {Икс}_{-} \end{matrix}) "=" Т^{- 1} (\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}) . \end{matrix}

$\tag{6} \begin{pmatrix}x_+ \\ x_-\end{pmatrix} ~=~T^{-1} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}.$

Тогда уравнения движения

\begin{matrix} (7) & {\ddot{Икс}}_{\pm} "=" - λ_{\pm} {Икс}_{\pm}, \end{matrix}

$\tag{7} \ddot{x}_{\pm}~=~-\lambda_{\pm} x_{\pm},$

с лагранжианом

\begin{matrix} (8) & \tilde{л} "=" \sum_{\pm} \frac{м_{\pm}}{2} ({\dot{Икс}}_{\pm}^{2} - λ_{\pm} {Икс}_{\pm}^{2}), \end{matrix}

$\tag{8} \tilde{L}~=~\sum_{\pm} \frac{m_{\pm}}{2}\left(\dot{x}^2_{\pm} - \lambda_{\pm} x^2_{\pm} \right),$

где массы $m_{\pm}$ зависит от параметров теории.

♦ Спасибо за ответ. Вы привели классические уравнения движения в нормальных координатах. Но меня не интересует, как решать классические гармонические осцилляторы, вместо этого меня интересует концепция эффективного лагранжиана , будь то квантовая версия или классическая версия.
Метод нормальных координат также работает квантово-механически.
♦ Да. И мне интересно, можем ли мы определить эффективный лагранжиан , содержащий только электрическое поле $E$ с классической точки зрения? Спасибо.

Наивные вопросы о понятии эффективного лагранжиана и уравнениях движения?

Кай Ли

Кай Ли

сяохуамао

Ответы (2)

Тримок

Кай Ли

Тримок

Кай Ли

Тримок

Кай Ли

Тримок

Кай Ли

Тримок

Qмеханик

Кай Ли

Qмеханик

Кай Ли

Интегрирование высокоимпульсных мод в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Если :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : нелокальна в пространстве, означает ли это, что взаимодействующая квантовая теория поля нелокальна?

«Найти лагранжиан теории»

Эквивалентность канонического квантования и квантования интеграла по путям

Несколько стационарных точек функционала действия

Можно ли определить тензор энергии-импульса для классических точечных частиц из КТП?

Доказательство того, что перенормировка Вильсона порождает только члены, согласующиеся с симметрией действия.

Пешеходное объяснение ренормализационных групп — от КЭД до классических теорий поля

Путаница с расчетом эффективного действия 1PI с использованием интегралов по путям

Интегралы пути для произвольных действий?