Можно ли уравнение Дирака переформулировать в эквивалентной тензорной форме?

Question

Можно ли уравнение Дирака переформулировать в эквивалентной тензорной форме?

Физика
спиноры
уравнение Дирака
тензорное исчисление
уравнения Максвелла

пользователь.3710634

1) Может ли уравнение Дирака (включая биспиноры ) быть представлено тензорным формализмом?

2) Если да, то какие тензоры могут быть компонентами волновой функции в уравнении Дирака в такой формулировке? и каковы их существенные (примечательные) свойства?

Также приветствуется введение любой соответствующей новой книги (или статьи), касающейся этого вопроса.

Ответы (2)

Можно ли уравнение Дирака переформулировать в эквивалентной тензорной форме?

пользователь 20250 · Answer 1

Я не уверен, что именно вы спрашиваете, поэтому я расскажу обо всем, что придет мне в голову.

Прежде всего, давайте проясним, что мы говорим об одном и том же. Тензоры - это объекты, которые преобразуются подобно тензорам , т.е.

Т^{я Дж к \dots} (Икс) ⟶ р_{а б с \dots}^{я Дж к \dots} Т^{а б с \dots} (Икс)

$T^{i j k \dots} (x) \longrightarrow R^{i j k \dots}_{a b c \dots} T^{a b c \dots} (x)$

$R$ является подходящим преобразованием. Если вы говорите о Лоренц-тензорах, то это преобразование Лоренца $\mathbf{\Lambda}$ и, например, тензор с двумя индексами Лоренца преобразуется как

Т^{мю ν} ⟶ Λ_{α}^{мю} Λ_{β}^{ν} Т^{α β}

$T^{\mu \nu} \longrightarrow \Lambda^{\mu}_{\, \, \alpha} \Lambda^{\nu}_{\, \, \beta} T^{\alpha \beta}$

Если это то, что вы имеете в виду, то уравнение Дирака (в натуральных единицах $c=\hbar=1$ ) просто

(я \partial / - м) Ψ "=" 0

$(i {\partial\!\!\!/} - m) \Psi = 0$

Здесь, $\Psi (x)$ является биспинором и ${\partial\!\!\!/} \equiv \gamma^\mu \partial_\mu$ , где $\gamma^\mu$ обозначает матрицы Дирака.

Обратите внимание, что 4-векторы Лоренца (и индексы) являются элементами векторного пространства, рассматриваемого как пространство представления $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ Представление группы Лоренца.

С другой стороны, биспинор (спинор Дирака) — это элемент векторного пространства, рассматриваемого как пространство представления $(\frac{1}{2}, 0) ⊕ (0, \frac{1}{2})$ Представление группы Лоренца.

Это означает, что биспиноры также могут быть записаны в «тензорной форме», где мы используем латинские буквы для обозначения спинорных индексов:

ψ^{а} ⟶ С_{б}^{а} ψ^{б}

$\psi^{a} \longrightarrow S^{a}_{\, \, b} \psi^{b}$

$S$ является подходящим преобразованием Лоренца для спиноров.

При работе с калибровочными теориями Янга-Миллса также есть индексы алгебры Ли, которые преобразуются с помощью соответствующих матриц преобразования.

Суть в том, что если он преобразуется как тензор, вы можете наложить на него индексы, если хотите.

PS Зацените эту нотацию для Weyl ( $(\frac{1}{2}, 0)$ или $(0, \frac{1}{2})$ ) спиноры: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Van_der_Waerden_notation

Это слово, тензорная форма , кажется мне запутанным. Разве слово тензор не заслуживает только объектов, которые ведут себя как тензорное произведение векторов: $\Lambda^{\mu}_{\nu}\Lambda^{\lambda}_{\rho}...$ ? Латинские буквы — это спинориальные индексы, простое проявление того, что представление происходит в линейном пространстве, т. е. преобразования Лоренца — это линейные преобразования.
Именно поэтому я начал с соответствующего определения тензора. Спиноры преобразуются подобно тензорам . То, что я имел в виду под тензорной формой, просто означает явные индексы с правилом тензорного преобразования. Я уверен, что мог бы сформулировать это лучше, но я не уверен, как это сделать.
Я имею в виду, что мы могли бы перейти к спин-структуре и спин-пучкам, но я хотел, чтобы это было просто. Надеюсь, это не слишком запутанно.
Насколько я знаю, из главы 5 книги Weinberg QFT нет никакого способа представить, что представляет собой уравнение Дирака (спин $1/2$ массивные частицы) тензором, т.е. тензорным произведением (n,n).
Не в обычном смысле, который был и в контексте Вайнберга. Это абсолютно правильно, и я это признаю :)

Ахметели · Answer 2

Мои статьи можно квалифицировать как «новые статьи, касающиеся этого вопроса»: http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (Журнал математической физики, 52, 082303 (2011)) и https ://arxiv.org/abs/1502.02351 . Для произвольной постоянной (не зависящей от точки пространства-времени) собственного вектора $\xi$ из $\gamma^5$ Я вывожу уравнение для одного компонента $\bar{\xi}\psi$ биспинора Дирака $\psi$ (поэтому компонент является скалярной функцией). Это уравнение эквивалентно уравнению Дирака (см. оговорки).

Можно ли уравнение Дирака переформулировать в эквивалентной тензорной форме?

пользователь.3710634

Ответы (2)

пользователь 20250

Ногейра

пользователь 20250

пользователь 20250

Ногейра

пользователь 20250

Ахметели

Введение в спиноры в физике и их связь с представлениями

В чем разница между спинором и вектором или тензором?

Интерпретация моря Дирака VS интерпретация Фейнмана-Стюкельберга для античастиц

Более общее соотношение полноты для спиноров Дирака

Природа полей в КТП

Оценка σμνFμν=iα⋅E+Σ⋅BσμνFμν=iα⋅E+Σ⋅B\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=i\alpha \cdot E+\Sigma\cdot B матрица, зависящая от спина член в квадратном уравнении Дирака

Путаница с массовым членом Дирака

Коммутирует ли оператор рождения/уничтожения со спинорами?

Диффеоморфизмы и действие Дирака

Изменение действия Дирака дифференциальными формами