Рискуя рассказать вам, как «сосать яйца» (ваш уровень в этих вещах не совсем ясен), вот.

Ингредиенты:

Важнейшими составляющими этого объяснения являются:

1. Физическая «система», которая развивается и чьи «события» происходят в некотором пространстве.$\mathcal{U}$(обычное евклидово трехмерное пространство или пространство-время Минковского, например); в физике это пространство всегда является линейным (обычно это пространство-время Минковского) пространством, в котором что-то происходит: назовем$\mathcal{U}$«сцена», где происходит то, о чем мы хотим поговорить;

2. Связная группа Ли$\mathfrak{G}$который представляет преобразования координат, которые может претерпевать система: в физике это все линейные преобразования$\mathcal{U}\to\mathcal{U}$сцены$\mathcal{U}$. Обычно в физике,$\mathfrak{G} = SO^+(1,3)$(компонента тождественной связности группы Лоренца, включающая все повороты и бусты «физического пространства», иногда называемая «правильной, ортохронной группой Лоренца» (правильный = унимодулярный определитель = 1, т. е. «не инвертирует пространство», а ортохронный = не переключить направление времени) или группу Пуанкаре;

3. Обложка$\mathfrak{G}$; это почти всегда (ни разу такого не видел) универсальный чехол$\tilde{\mathfrak{G}}$из$\mathfrak{G}$как объясняется в моей статье «Гомотопия групп Ли и глобальная топология» на моем веб-сайте здесь ;

4. Векторное пространство$\mathcal{V}$которое может быть, например, пространством квантовых состояний, возможно, бесконечномерным, и его группа$GL(\mathcal{V})$линейных эндоморфизмов, т.е. биективных, линейных отображений$\phi:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$. Неофициально,$GL(\mathcal{V})$группа обратимых матриц, действующих на$\mathcal{V}$. Самое главное: это пространство отличается от физической «сцены» .$\mathcal{U}$. Сцена$\mathcal{U}$пространство-время вокруг нас, состояние пространства$\mathcal{V}$является гильбертовым пространством квантовых состояний. И действительно, хотя мы говорим о «линейном» пространстве состояний$\mathcal{V}$, мы немного небрежны: конечно, все квантовые состояния являются линейными суперпозициями базиса для$\mathcal{V}$но они всегда имеют единичную величину: вероятности измерения «схлопывания» состояния в один из базисных векторов должны в сумме равняться единице — «мы должны оказаться в каком-то состоянии». Таким образом, если быть точным, то следует принять во внимание, что на самом деле мы говорим об единичной сфере внутри$\mathcal{V}$как состояние квантовых состояний. Это пространство состояний сильно отличается по своему характеру от пространства-времени, в котором нет обязательства, чтобы 4-позиция событий была единичной величины;

5. Представительства$\rho : \mathfrak{G}\to GL(\mathcal{V})$,$\tilde{\rho}:\tilde{\mathfrak{G}}\to GL(\mathcal{V})$обоих$\mathfrak{G}$и его обложка$\tilde{\mathfrak{G}}$, соответственно. Напомним, что представление группы Ли$\mathfrak{G}$является гомоморфизмом из из$\mathfrak{G}$к$GL(\mathcal{V})$, то есть преобразование, которое «уважает групповой продукт», так что, учитывая$\gamma,\,\zeta\in\mathfrak{G}$, у нас есть$\rho(\gamma\,\zeta)=\rho(\gamma)\,\rho(\zeta)$. И, как обсуждалось выше, линейные преобразования вида$\rho(\gamma),\,\tilde{\rho}(\tilde{\gamma}) \in GL(\mathcal{V})$за$\gamma \in\mathfrak{G}$а также$\tilde{\gamma} \in\tilde{\mathfrak{G}}$должны быть унитарными, чтобы преобразованные квантовые состояния оставались нормализованными . Итак, мы можем видеть, что$GL(\mathcal{V})$сильно отличается от$\mathfrak{G}$или же$\tilde{\mathfrak{G}}$: Бусты Лоренца наверняка не унитарны! Мы говорим, что$\mathfrak{G}$или же$\tilde{\mathfrak{G}}$«действовать на государственном пространстве$\mathcal{V}$через представительства$\rho$,$\tilde{\rho}$".

Я использую здесь больше математическое описание представления, потому что здесь (я не всегда так суетился) я полагаю, что оно яснее, чем у физиков, потому что нам нужно принять во внимание, что в нашем обсуждении есть два разных класса представлений. : те, при которых группа преобразований координат$\mathcal{G}$действовать в пространстве состояний$\mathcal{V}$и те, посредством которых его покрытие $\tilde{\mathcal{G}}$действует на$\mathcal{V}$.

Инструкции по выпечке: теорема Вигнера и чем интересны крышки

Почему нас вообще интересуют каверы? Ведь элементы из$\tilde{G}$не являются «физическим» преобразованием координат. Здесь мы встречаемся с печью для выпечки наших ингредиентов: теорема Вигнера . Понятно, когда наша сцена$\mathcal{U}$претерпевает преобразование координат, тогда преобразования, произведенные в квантовом состоянии, должны сохранять внутренние продукты в пространстве квантовых состояний, чтобы состояние оставалось должным образом нормализованным. Только исходя из этого предположения, т . е. НЕ нужно предполагать линейность , Вигнер доказал, что когда сцена$\mathcal{U}$подвергается «симметрии» (преобразованию Лоренца), пространство состояний должно подвергаться «проективному гомоморфизму».$\sigma$, т.е. если$\gamma,\,\zeta$являются двумя преобразованиями Лоренца, то преобразование пространства состояний, соответствующее их произведению, имеет вид:

Тот факт, что мы не получаем в точности гомоморфизм, объясняет, почему нас интересуют покрытия: образ представления$\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$(напомним, что это группа унитарных операторов в$GL(\mathcal{V})$действующее на пространстве состояний) покрытия$\tilde{\mathfrak{G}}$содержит как преобразования, которые выполняют подлинную$+$-знаковый гомоморфизм в (1) (которые являются просто унитарными операторами в образе$\rho(\mathfrak{G})$группы преобразования координат$\mathfrak{G}$) И те, которые переворачивают знак. Таким образом, если мы допускаем представления покрытия, мы получаем все возможные унитарные преобразования (даже без предположения о линейности — это следует автоматически), которые можно произвести в пространстве состояний$\mathcal{V}$когда сцена$\mathcal{U}$трансформируется.

Вот изюминка.

Квантовые состояния, которые преобразуются преобразованиями, принадлежащими образу$\rho(\mathfrak{G})$из$\mathfrak{G}$при истинном гомоморфизме$\rho$называются векторами .

Квантовые состояния, которые преобразуются преобразованиями, принадлежащими образу$\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$обложки _ $\tilde{\mathfrak{G}}$при «проективном гомоморфизме»$\tilde{\rho}$называются спинорами .

Вышеизложенное можно интуитивно представить следующим образом: в квантовой механике глобальная фаза$e^{i\phi}$умножение квантового состояния системы не влияет на измерения, которые мы делаем в системе. Таким образом, квантовым системам «все равно, является ли гомоморфизм подлинным или проективным».

Универсальное (единственное) покрытие группы Лоренца$SO(1,3)$это группа$SL(2,\,\mathbb{C})$. Таким образом, «спиноры» преобразуются представлением$SL(2,\,\mathbb{C})$. Векторы преобразуются представлением$SO(1,3)$. По моему опыту, слово «спинор» может быть довольно расплывчатым: оно может относиться к трансформации в$SL(2,\,\mathbb{C})$а не квантовое состояние, которое преобразуется им, и люди часто называют единичные кватернионы «спинорами»: в главе 11 «Дорога к реальности» Роджера Пенроуза спинор просто определяется как что-то, что принимает отрицательный знак при вращении на$2\,\pi$и возвращается в исходную точку после поворота на$4\,\pi$. На самом деле это довольно хорошее определение, поскольку именно так элементы представления$SL(2,\,\mathbb{C})$действовать в пространстве состояний$\mathcal{V}$, и является существенным различием между тем, как элементы представления$SO(1,3)$действовать на пространствах состояний.

Забудьте о «количествах с направлением» как определении вектора: в физике слово «вектор» всегда говорит о том, как что-то трансформируется , когда наша сцена $\mathcal{U}$подвергается симметрии. Помните, что это довольно близко к буквальному значению слова vehor (транслитерируется как вектор) буквально означает «я рожден» или «меня несут» на латыни, так что все дело в том, как носится «вектор», либо путем преобразования в физике. или как патоген в биологии (исходное английское значение слова).

Из вопроса я вижу, что вас смущает смысл «Нормально состояния являются векторами в бесконечномерных пространствах», а не спиноры. Функция — это хорошее представление вектора в бесконечном пространстве. Рассмотрим функцию$\psi(\bf{r})$. Это вектор из бесконечномерного пространства . Что будет с этой функцией, когда мы будем вращать пространство? Не то воображаемое бесконечномерное пространство, а реальное пространство, которое$\bf{r}$(аргумент этой функции). В реальном пространстве это константа (спин$=0$), потому что если вы поворачиваете эту функцию, это можно сделать, только учитывая, как аргумент функции$\bf{r}$меняется при повороте пространства.

Оказывается, бывают и более сложные случаи. В некоторых случаях приходится рассматривать не одну функцию, а две$(\psi_{\uparrow}(\bf{r}),\psi_{\downarrow}(\bf{r}))$или три$(\psi_{x}(\bf{r}),\psi_{y}(\bf{r}),\psi_{z}(\bf{r}))$функции. После оборотов недостаточно просто заменить$\bf{r}$с новым поворотом$\bf{r}'$. Новые (две или три) функции будут линейной комбинацией повернутых исходных функций. Соединяющая их матрица обычно представляет собой матрицу, описывающую вращение спиноров или векторов.