В чем разница между спинором и вектором или тензором?

Может быть поучительно увидеть приложения алгебры Клиффорда к областям за пределами квантовой механики, чтобы получить более геометрическое представление о том, что на самом деле представляют собой спиноры.

Я представляю вам, я могу вращать вектор$a = a^1 \sigma_1 + a^2 \sigma_2 + a^3 \sigma_3$в плоскости xy с помощью выражения следующего вида:

куда$\psi = \exp(-\sigma_1 \sigma_2 \theta/2)= \cos \theta/2 - \sigma_1 \sigma_2 \sin \theta/2$.

В QM типично назначать матричные представления$\sigma_i$(и, следовательно,$a$будет матрицей — матрицей, которая, тем не менее, представляет собой вектор), но это не обязательно. Существует множество таких матричных представлений, удовлетворяющих основным требованиям алгебры, и мы можем говорить о результатах, не выбирая представления.

Объект$\psi$является спинором. Если я хочу повернуть$a'$к$a''$другим спинором$\phi$, то было бы

Я могу эквивалентно сказать, что$\psi \mapsto \psi' = \phi \psi$. В этом разница между спинорами и векторами (и, следовательно, другими тензорами). Спиноры трансформируются односторонним образом, а векторы — двусторонним.

Это отвечает на различие между тем, что такое спиноры и что такое тензоры; вопрос о том, почему решения уравнения Дирака для электрона являются спинорными, вероятно, лучше всего подходит для кого-то, кто лучше меня разбирается в квантовой механике.

На самом деле, уравнение Дирака является чем-то вроде «квадратичного корня» уравнения Клейна-Гордона, поэтому интуитивно оно не может представлять вектор или тензор, поскольку «символически» спинор соответствует квадратному корню из «дифференциала», поэтому правила преобразования были чтобы отличаться от тензоров (на самом деле один в каком-то смутном смысле берет «квадратный корень» из правил преобразования тензора, спиноры фактически исходят из «ПОЛОВИНЫ» плотности Грама для тензора), следовательно, для векторов. Вышеупомянутое обсуждение может быть уточнено в «Основном пакете» или, скорее, в настройках «Векторного пакета». " описывает только 1/2-спиновые частицы.

Четырехвекторные преобразования под группой Лоренца$SO(3,1)$, то есть «стандартное преобразование Лоренца». Преобразование Лоренца для спинора$SU(2)\times SU(2)$(точнее представление$2 \times \bar 2$), который локально изоморфен$SO(3,1)$но не то же самое. Чтобы лучше понять, вы можете прочитать вторую главу здесь и немного поразмышлять над ней. Мне потребовалось некоторое время, чтобы привести все в порядок в моей голове. (На самом деле я сомневаюсь, что все еще улажено, но, по крайней мере, я начинаю вникать в это.)

Спинор — это вектор в основе не пространства-времени, а его спиновых состояний; по смыслу спинор не является вектором, поскольку он не будет трансформироваться при преобразовании пространства (вращении и т. д.).

Вообще говоря, тензоры (включая скаляр, вектор, тензор ранга 2, 3, 4... и т. д.) - это просто математические объекты (вы собрали их вместе), которые трансформируются по мере преобразования пространственно-временной координаты как целого. Скаляр таков, что:

Тензоры более высоких порядков просто преобразуются соответствующим образом (добавляя больше терминов M).