Можно ли вывести квантовый оператор углового момента из его коммутационных соотношений с положением и импульсом?

В упражнении 12.2.2 из «Принципов квантовой механики» Шанкара предлагается вывести выражение для оператора углового момента. л г

л г "=" Икс п у − Д п Икс
используя его коммутационные соотношения с операторами координаты и импульса
[ Икс , л г ] "=" − я ℏ Д [ Д , л г ] "=" я ℏ Икс [ п Икс , л г ] "=" − я ℏ п у [ п у , л г ] "=" я ℏ п Икс
Я видел решение , в котором используются координатные представления импульсов.

Однако я хотел бы найти тот, который опирается исключительно на абстрактные отношения.

Все, что я смог доказать до сих пор, это то, что л г и Икс п у − Д п Икс добираться. Умножьте первое соотношение справа на п у и третье соотношение

[ Икс , л г ] п у "=" − я ℏ Д п у Д [ п Икс , л г ] "=" − я ℏ Д п у
Приравнивая LHS, получаем
( Икс л г − л г Икс ) п у "=" Д ( п Икс л г − л г п Икс ) Икс л г п у − л г Икс п у "=" Д п Икс л г − Д л г п Икс
Теперь вычтите Икс п у л г с обеих сторон
Икс л г п у − Икс п у л г − л г Икс п у "=" Д п Икс л г − Икс п у л г − Д л г п Икс Икс [ л г , п у ] − л г Икс п у "=" ( Д п Икс − Икс п у ) л г − Д л г п Икс
Добавлять л г Д п Икс в обе стороны
Икс [ л г , п у ] + л г Д п Икс − л г Икс п у "=" ( Д п Икс − Икс п у ) л г + л г Д п Икс − Д л г п Икс Икс [ л г , п у ] + л г ( Д п Икс − Икс п у ) "=" ( Д п Икс − Икс п у ) л г + [ л г , Д ] п Икс [ л г , Икс п у − Д п Икс ] "=" Икс [ п у , л г ] − [ Д , л г ] п Икс
Однако, используя коммутационные соотношения, мы получаем, что Икс [ п у , л г ] "=" [ Д , л г ] п Икс "=" я ℏ Икс п Икс , поэтому
[ л г , Икс п у − Д п Икс ] "=" 0

Любые другие манипуляции заставляли меня вертеться в логических кругах. Буду признателен за любую помощь в завершении аргументации.

При ближайшем рассмотрении решение, на которое вы ссылаетесь, также кажется полностью действительным.
Да, мне тоже нравится этот. Мне просто было интересно, можно ли не ходить в базис и не правильно ли я понимаю алгебру. Радости самообучения.
Ой! Вы имеете в виду, что хотите сделать это без координат?
Точно! Извините, если я выразил это неясным образом
Ну, есть инвариантные способы сформулировать коммутационные соотношения, но они не особенно информативны: [ а ⋅ р , б ⋅ п ] "=" я ℏ а ⋅ б , [ а ⋅ р , б ⋅ л ] "=" я ℏ р ⋅ ( а × б ) , и аналогичный для п , где а и б произвольны ( с -число) векторов в р 3 . Затем вы можете продолжить, как в моем ответе.
Хотя, если честно, оно того не стоит. Выберите любую систему отсчета. Тогда те, которые я только что дал, подразумевают те, что в вашем ответе, как частные случаи, а вторые подразумевают первые по линейности (просто разложите а и б на компоненты). Они абсолютно эквивалентны, так что вы можете работать в данном кадре, если он даже немного удобней.
Отлично, еще раз спасибо! Я возьму это на вооружение и вернусь к этому выводу позже. Еще гора материала для проглатывания.

Ответы (1)

То, что вы хотите, на самом деле невозможно. Причина в том, что угловой момент частицы может иметь спиновую составляющую, или могут быть другие частицы, для которых вы также должны включить угловой момент. Более конкретно, все, что вы можете заключить из аргументов симметрии, это то, что в вращательно-инвариантной теории существует псевдовекторный оператор Дж ^ чьи коммутационные отношения с положением и компонентами импульса любой частицы в системе - это те, которые вы опубликовали. Обычно он включает орбитальный угловой момент частицы, л ^ , а также другие операторы, такие как спин, который коммутирует со всеми операторами положения и импульса.

Это, конечно, устраняет тот факт, что если у вас есть только орбитальные степени свободы одной частицы, то там нет ничего, что имело бы больший угловой момент, и должно следовать равенство, которое вы хотите.

Способ доказать это следующий. Вы начинаете с оператора полного углового момента Дж ^ о котором вы знаете только его коммутационные соотношения с р ^ и п ^ . Затем вы строите оператор орбитального углового момента л ^ и покажем, что оно имеет те же коммутационные соотношения, что и р ^ и п ^ как Дж ^ . Это значит, что тогда Дж ^ − л ^ взаимодействует со всеми компонентами р ^ и п ^ .

Теперь, если ваша система действительно состоит из одной частицы, то она содержит прямую сумму трех неприводимых представлений группы Гейзенберга , алгебра которой, конечно, натянута на компоненты р ^ и п ^ . Это означает, что вы можете применить лемму Шура , чтобы заключить, что каждая компонента Дж ^ − л ^ должно быть кратно единице оператора.

Наконец, в изотропной системе такой вектор нарушил бы глобальную вращательную симметрию и поэтому должен быть равен нулю.

Можно ли вывести квантовый оператор углового момента из его коммутационных соотношений с положением и импульсом?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v