Роль расслоения Хопфа в теории Калуцы-Клейна

Недавно я узнал о расслоении Хопфа и его связи с физикой. Мой профессор сказал мне, что это один из простейших методов уменьшения размеров в теории Калуцы-Клейна. Просматривая различные источники по теории КК, я вижу сходство и могу представить, где расслоение Хопфа могло бы соответствовать, например, карты расслоения Хопфа из С 3 к С 2 , и это соответствует трем пространственным измерениям, которые мы наблюдаем, если считать, что время не зависит от расслоения, и, конечно, U ( 1 ) волокна компактифицированы в дополнительном измерении.

Мой вопрос, с практической точки зрения, как расслоение Хопфа на самом деле входит в теорию? Элемент строки в метрике КК имеет вид

г с 2 "=" г мю ν г Икс мю г Икс ν + ( г Икс 4 − А мю г Икс мю ) 2
и это похоже по форме на метрику, полученную мной на тотальном пространстве расслоения Хопфа (особенно в члене в скобках, который выглядит точно так же, как связность в метрике HF). При уменьшении размерности теории с использованием расслоения Хопфа, что бы вы сделали в расчетах? Я чувствую себя здесь потерянным - моей первой мыслью было просто поменять соединение выше на соединение с HF, но я чувствую, что почти определенно ошибаюсь.

Кроме того, не было бы HF применимо только в том случае, если бы пространство имело топологическую структуру С 2 ?

Любая помощь будет принята с благодарностью - заранее спасибо!

По сути, сокращение KK так, как вы написали, является тривиальным расслоением. М г "=" Н г − 1 × С 1 . Вместо этого вы могли бы рассмотреть М г как С 1 расслоение над Н г − 1 и выполнить сокращение таким образом. Если г "=" 3 и М 3 "=" С 3 , уменьшение КК даст Н 2 существование С 2 и это по существу расслоение Хопфа. (У меня нет времени писать полноценный ответ с уравнениями, шагами и всем остальным, но это общее соотношение)

Ответы (1)

Привет меня тоже интересует этот вопрос. Я проделал некоторую работу над расслоением Хопфа, но не очень хорошо знаком с теорией КК - хотя я, безусловно, хотел бы узнать о ней больше.

Расслоение Хопфа — это аспект кватернионной геометрии. Кватернион представляет собой четверку, описывающую трехмерную сферу. С 3 ⊂ р 4 .

Его можно спроецировать в трехмерное пространство, а затем, как вы сказали, компактифицируется четвертое измерение. Насколько я понимаю, расслоение Хопфа — это широкая область исследований с большим количеством неизвестных.

Для стерографической проекции расслоения Хопфа есть множество хороших ресурсов на веб-сайте Нильса Джонсона.

https://nilesjohnson.net/hopf.html

Стереографическая проекция представляет собой отображение вида С 2 ↦ С 1 р 3 которая отличается от стандартной проекции

С 3 ↦ С 1 С 2

это, кажется, то, что вас интересует. Существует хорошая вводная статья об этом типе проекций «Единичные кватернионы и сфера Блоха», найденная на arXiv по адресу

https://arxiv.org/abs/1411.4999

Надеюсь, это поможет!

У меня также есть вопрос по теории КК - является ли общая идея КК, что структура представляет собой пространство-время 4+1; В том смысле, что есть 4 пространственных направления и 1 временной параметр?

Привет и добро пожаловать в Physics SE! Обратите внимание, что ответ — не лучшее место для нового вопроса (поскольку PhysSE — это сайт вопросов и ответов, а не форум). Если вы опубликуете свой последний абзац как новый вопрос, он также привлечет гораздо больше внимания.
Что сказал стафуса. Это потому, что сайты Stack Exchange работают иначе, чем форумы. Однако дополнительное измерение в теории КК является пространственным; это также относится к дополнительным измерениям в более новых теориях, вдохновленных К.К.
Роль расслоения Хопфа в теории Калуцы-Клейна
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v