Наиболее общая процедура квантования

Общая идея следующая. Поскольку симплектическое многообразие аффинно (в смысле аффинных пространств, а не в смысле существования аффинной связности), при фиксации точки$O$, многообразие становится вещественным векторным пространством, снабженным невырожденной симплектической формой. Процедура квантования есть не что иное, как присвоение (гильбертово) кэлеровой структуры, завершающей симплектическую структуру. Таким образом, реальное векторное пространство становится комплексным векторным пространством, снабженным эрмитовым скалярным произведением, а его пополнение является гильбертовым пространством , в котором определяется квантовая теория. Как я вскоре докажу в следующем примере, симплектические симметрии становятся унитарными симметриями при условии, что структура Гильберта — Кэлера инвариантна относительно симметрии. Таким образом, временная эволюция в гамильтоновом описании порождает унитарную временную эволюцию.

Интересным примером является следующий. Рассмотрим гладкое глобально гиперболическое пространство-время . $M$и реальное векторное пространство$S$гладких вещественных решений $\psi$реального уравнения Клейна-Гордона таким образом, что они имеют компактные данные Коши (на одной и, следовательно, на каждой поверхности Коши пространства-времени).

Невырожденная (корректно определенная) симплектическая форма задается выражением:

$$\sigma(\psi,\phi) := \int_\Sigma (\psi \nabla_a \phi - \phi \nabla_a \psi)\: n^a d\Sigma$$ куда $\Sigma$– гладкая пространственноподобная поверхность Коши, $n$его нормализованный вектор нормали в будущем указывает и $d\Sigma$стандартная форма объема, индуцированная метрикой пространства-времени. Ввиду уравнения КГ выбор $\Sigma$не имеет значения, как можно легко доказать с помощью теоремы о расходимости.

Здесь можно построить бесконечно много структур Калера. Процедура (одна из возможных) заключается в определении вещественного скалярного произведения:

$$\mu : S \times S \to R$$ такой, что $\sigma$непрерывна относительно него (множитель $4$возникает для чистого последующего удобства): $$|\sigma(\psi, \phi)|^2 \leq 4\mu(\psi,\psi) \mu(\psi,\psi)\:.$$ В соответствии с этой гипотезой структура Гильберта-Келера может быть определена, как я собираюсь резюмировать.

Можно доказать, что существует комплексное гильбертово пространство$H$и инъективный$R$-линейная карта$K: S \to H$такой, что$K(S)+ i K(S)$плотный в$H$и если$\langle | \rangle$обозначает произведение гильбертова пространства:

$$\langle K\psi | K\phi \rangle = \mu(\psi,\phi) -\frac{i}{2}\sigma(\psi,\phi) \quad \forall \psi, \phi \in S\:.$$ Наконец пара $(H,K)$определяется с точностью до унитарных изоморфизмов тройки $(S, \sigma, \mu)$.

Вы видите, что на самом деле,$H$является гильбертовой комплексфикацией$S$антисимметричная часть скалярного произведения которого является симплектической формой. (Можно также записать почти сложную структуру теории, связанную с полярным разложением оператора, представляющего$\sigma$в замыкании вещественного векторного пространства$S$снабженный действительным скалярным произведением$\mu$.)

В чем физический смысл$H$?

Это то, что физики называют одночастичным гильбертовым пространством . В самом деле, рассмотрим бозонное пространство Фока ,${\cal F}_+(H)$, создано$H$.

$${\cal F}_+(H)= C \oplus H \oplus (H\otimes H)_S \oplus (H\otimes H\otimes H)_S \oplus \cdots\:,$$ и мы обозначаем через $|vac_\mu\rangle$число $1$в $C$рассматривается как вектор в ${\cal F}_+(H)$

Можно определить${\cal F}_+(H)$точное представление бозонного CCR путем определения полевого оператора :

$$\Phi(\psi) := a_{K\psi} + a^*_{K\psi}$$

куда$a_f$— стандартный оператор уничтожения, относящийся к вектору$f\in H$а также$a_f^*$стандартный оператор создания относится к вектору$f\in H$. Получается, что при таком определении вакуумное математическое ожидание:

$$\langle vac_\mu| \Phi(\psi_1)\cdots \Phi(\psi_n) |vac_\mu\rangle$$ удовлетворяют стандартному рецепту Вика, и поэтому все они могут быть вычислены только с точки зрения двухточечной функции : $$\langle vac_\mu| \Phi(\psi) \Phi(\phi) |vac_\mu\rangle$$ Более того, они согласуются с формулой, справедливой для гауссовых состояний (например, свободный вакуум Минковского в пространстве-времени Минковского) $$\langle vac_\mu | e^{i \Phi(\psi)} |vac_\mu \rangle = e^{-\mu(\psi,\psi)/2}$$

На самом деле, в силу теоремы GNS, построенное представление CCR однозначно определяется формулой$\mu$, с точностью до унитарных эквивалентностей.

Полевой оператор$\Phi$смазан растворами КГ вместо гладких опорно-уплотненных функций$f$по-прежнему. Однако "перевод" получается просто. Если$E : C_0^{\infty}(M) \to S$обозначает причинный пропагатор (разность опережающего и запаздывающего фундаментального решения уравнения КГ) обычный полевой оператор, смазанный$f\in C_0^{\infty}(M)$является:

$$\hat{\phi}(f) := \Phi(Ef)\:.$$

CCR может быть указан на обоих языках. Размазывание полей растворами КГ имеет:

$$[\Phi(\psi), \Phi(\phi)] = i \sigma(\psi,\phi)I\:,$$

смазывая полевые операторы функциями, вместо этого имеем:

$$[\hat{\phi}(f), \hat{\phi}(g)] = i E(f,g) I$$

Всякая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов $\alpha_t :S \to S$(например, непрерывные изометрии Киллинга$M$) порождают действие на алгебре квантовых полей

$$\alpha^*_t(\Phi(\psi)) := \Phi(\psi \circ \alpha_t)\:.$$ Если государство $|vac_\mu\rangle$инвариантен относительно _ $\alpha_t$, а именно $$\mu\left(\psi \circ \alpha_t,\psi \circ \alpha_t\right) = \mu\left(\psi ,\psi \right)\quad \forall t \in R,$$ затем, по существу используя теорему Стоуна, видно, что указанная непрерывная симметрия допускает (сильно непрерывное) унитарное представление: $$U_t \Phi(\psi) U^*_t =\alpha^*_t(\Phi(\psi))\:.$$ Самосопряженный генератор $U_t= e^{-itH}$является гамильтоновым оператором для этой симметрии. На самом деле эта интерпретация подходит, если $\alpha_t$возникает из-за времениподобной непрерывной симметрии Киллинга. Вакуум Минковки устроен таким образом, что требуется, чтобы соответствующий $\mu$инвариантна относительно всей ортохронной группы Пуанкаре.

Вся картина, которую я набросал, является промежуточной между «практической» КТП и так называемой алгебраической формулировкой . Я только хотел бы подчеркнуть, что выбор различных$\mu$обычно получаются унитарно неэквивалентные представления бозонных CCR.

Вот некоторые комментарии к литературе, которые, возможно, служат для того, чтобы представить более конкретный ответ Вальтера Моретти в более широкой перспективе.

Заданный вопрос на удивление хороший. Это «хорошо», потому что действительно существует этот очень общий рецепт квантования; и «удивительно», потому что, хотя общая идея существовала веками, она была понята в приличной общности только в прошлом году!

А именно, с одной стороны, в контексте квантовой механики давно признано, что то, что физики широко называют «каноническим квантованием», на самом деле состоит в следующем: построение ковариантного фазового пространства как (пред)симплектического многообразия, а затем квантование этого по предписанию либо алгебраического квантования деформации , либо геометрического квантования .

Напротив, совсем недавно выяснилось, что устоявшиеся методы пертурбативного квантования теорий поля, особенно в виде теории причинных возмущений Эпштейна-Глейзера (такие как КЭД, КХД, а также пертурбативная квантовая гравитация, как в учебниках Шарфа) действительно также являются примерами этого общего метода.

Для свободных полей (без взаимодействий) это впервые было понято в

• Дж. Дито. «Подход звездного произведения к квантовой теории поля: свободное скалярное поле». Письма по математической физике, 20 (2): 125–134, 1990.

а затем расширено в длинной серии статей о локально ковариантной пертурбативной квантовой теории поля .

Клауса Фреденхагена и сотрудников, начиная с

• М. Дютч и К. Фреденхаген. «Пертурбативная алгебраическая теория поля и деформационное квантование». В Р. Лонго (редактор), «Математическая физика в математике и физике, аспекты квантовой и операторной алгебры», том 30 журнала Fields Institute Communications, страницы 151–160. Американское математическое общество, 2001.

Любопытно, что, несмотря на это понимание, эти авторы продолжали трактовать взаимодействующую квантовую теорию поля с помощью сравнительно ad hoc формулы Боголюбова вместо того, чтобы аналогичным образом вывести ее из квантования (до)симплектической структуры фазового пространства взаимодействующей теории.

Тот последний шаг, чтобы показать, что традиционное построение взаимодействующей петурбативной квантовой теории поля через упорядоченные во времени произведения и формулу Боголюбова также следует из общего предписания деформационно-геометрического квантования (до)симплектического фазового пространства, был сделан, невероятно, только последним. год, в очень рекомендуемой диссертации

• Джованни Коллини, Федосовское квантование и пертурбативная квантовая теория поля arXiv:1603.09626

Просто прочитайте введение этого тезиса, это очень много стоит.

(Об этой статье я узнал от Игоря Хавкина и Александра Шенкеля, за что им большое спасибо.)

В подобном духе чуть позже появились

• Эли Хокинс, Касия Рейзнер, Звездный продукт в взаимодействующей квантовой теории поля arxiv: 1612.09157

который обсуждает ситуацию в несколько более общем виде, чем это делает Коллини, но опускает технические детали перенормировки в этой перспективе.