Насколько степень свободы линий в трехмерном пространстве равна 4?

Я задал этот вопрос , что степень свободы линий в 2D-плоскости равна 2.

Доказательство: предположим, возьмем две точки ( Икс 1 , у 1 ) , ( Икс 2 , у 2 ) . Таким образом, степень свободы равна 4. Но вычтите 2, потому что их положение на линии не имеет значения.

Мой вопрос: что означает «вычесть 2, потому что их положение на линии не имеет значения»?

И я также прочитал из этого вопроса, что степень свободы линии в трехмерном пространстве равна 4.

Мой подход заключается в том, что мы берем две произвольные точки для рисования линии в 3D. Она имеет 6 степеней свободы.

Но почему мы вычитаем 2 из 6? Не понимаю.

NB - я хочу понимать интуицию, а не сложную математику.

Ответы (3)

В 2D вы можете определить линию по углу θ и (со знаком) расстояние г . Уравнение линии Икс потому что ⁡ θ + у грех ⁡ θ "=" г . Линия нормальна к вектору ( потому что ⁡ θ , грех ⁡ θ ) и это на расстоянии г от происхождения. Таким образом, 2D-линия имеет две степени свободы (как указано θ и г ).

Обратите внимание, что это бесконечная линия. Кажется, вы думаете об ограниченном отрезке, определяемом двумя его конечными точками. Ограниченный отрезок прямой в 2D действительно имеет 4 степени свободы.

Предположим, вы используете две точки для определения бесконечной 2D-линии. Итак, вы используете четыре числа, и, возможно, это заставляет вас думать, что линия имеет 4 степени свободы. Но вы можете сдвинуть каждую из двух точек вдоль линии, и вы все равно получите ту же самую линию. Скользящие движения двух точек соответствуют двум степеням свободы, которые никак не помогают в определении линии. Таким образом, две степени свободы тратятся впустую, а у линии действительно только две степени свободы, а не 4.

В 3D верно то, что (неограниченная) линия имеет 4 степени свободы, но найти линейное представление, использующее только 4 числа, довольно сложно. Одним из простых, но неполных решений является использование пересечения линии с двумя плоскостями, скажем, Икс у самолет и Икс г самолет. Это дает вам представление с использованием 4 чисел, но не работает для всех строк.

Опять же, ограниченный трехмерный линейный сегмент имеет 6 степеней свободы.

Не могли бы вы немного объяснить: «Скользящее движение двух точек соответствует двум степеням свободы» - как скользящее движение двух точек соответствует 2 степеням свободы?
@Stack Я думаю, они имеют в виду, что движение вдоль линии имеет одну степень свободы. Таким образом, две точки сохраняют две степени свободы.
@MyMolecules, почему движение вдоль линии составляет 1 градус, я могу двигаться в обоих направлениях, поэтому должно быть 2 степени свободы?
@MyMolecules, не могли бы вы объяснить, почему движение имеет одну степень свободы?
Точка может переместиться на расстояние р вдоль линии. Этот р является единственной степенью свободы. Его значение может быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому оно охватывает оба упомянутых вами направления. (Вспомним числовую прямую.)
@MyMolecules, но почему мы вычитаем 2 из 4, если точка в строке, мы должны вычесть 1?
@Stack 1 точка имеет 1 степень свободы; поэтому 2 точки будут иметь 2 степени свободы.
Для каждой точки... вам нужно удалить одну степень свободы, потому что она должна лежать на прямой. Это оставляет одну степень свободы. Итак, удалите одну степень свободы для каждой точки, что означает, что вы удаляете всего две.
Если вас это смущает, забудьте об «удалении» степеней свободы. Бесконечная линия может быть описана двумя числами (например, г и θ в моем ответе). Таким образом, он имеет две степени свободы. Вот и все — конец истории.
[+1] См. мой ответ, в котором упоминается (избыточная система) координат Плюкера.

Чтобы указать строку в 3 Д вам нужен вектор направления и точка ( а , б , с ) . Можно предположить, что векторы направления являются единичными векторами и, таким образом, могут быть заданы двумя параметрами (при параметризации с использованием сферических координат). Точка ( а , б , с ) — это любая точка на линии, которая может быть задана двумя координатами на плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярно вектору направления. Следовательно, общее количество параметров, необходимых для однозначного определения линии, равно 4 .

Это не совсем правильно, потому что ваша линия не ориентирована и, следовательно, соответствует двум точкам на единичной сфере.
@Georges, не могли бы вы немного объяснить в ответе bubba: «Скользящие движения двух точек соответствуют двум степеням свободы» - как скользящее движение двух точек соответствует 2 степеням свободы?
@Georges, можно опубликовать решение, чтобы я знал, где я ошибся?
Извините, я не понимаю вашего аргумента.
@potato, не могли бы вы немного объяснить в ответе bubba: «Скользящие движения двух точек соответствуют двум степеням свободы» - как скользящее движение двух точек соответствует 2 степеням свободы?
@stack Я думаю, вам следует адресовать этот вопрос самому Баббе.
@Potato Bubba не отвечает...
@Potato Предположим, ваша линия Икс "=" у "=" 0 : с ним не связан единый вектор направления. Действительно, вы могли бы выбрать ( 0 , 0 , 1 ) или ( 0 , 0 , − 1 ) и нет никакого способа сделать совместимый выбор для всех линий. Вы должны параметризовать направления проективной плоскостью п р 2 , которое является фактор-топологическим пространством сферы С 2 по антиподальному отношению ( Икс , у , г ) ≅ ( − Икс , − у , − г ) .
Так какой тогда ответ?
Ответ состоит в том, что набор строк в р 3 является большим открытым подмножеством грассманова многообразия гр ⁡ ( 2 , р 4 ) "=" гр ⁡ ( 1 , п 3 ) . Это многообразие имеет размерность 4 , как и в вашем ответе, но не является открытым подмножеством р 4 , и поэтому не так просто описать элементарно.
Спасибо за ваш ответ.

Я не видел упоминания о том, что набор строк в р 3 может быть очень эффективно параметризована координатами Плюкера .

Эта система избыточных координат связана с линией:

  • направляющий вектор В → и

  • вектор "крутящего момента" Т → "=" О М → × В → где М любая точка на прямой.

Таким образом, линия описывается 3 + 3 координат, но это не означает 6 степеней свободы.

Мы должны сначала вычесть одну степень свободы, потому что В → определяется с точностью до умножения на скаляр, а еще один, потому что

Т → ⊥ В →   ⟺   Т → ⋅ В → "=" 0
давая другую связь между шестью координатами.

Таким образом, мы остаемся с 4 степенями свободы.

Этот набор прямых составляет так называемое грассманово многообразие (обобщенную поверхность), точнее квадрику Клейна .

Примечания:

О применении координат Плюккера см. в этой докторской диссертации .

Интересное применение квадрики Клейна можно найти в этой недавней статье .

Есть комментарий?...
Насколько степень свободы линий в трехмерном пространстве равна 4?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v