Почему стержень вращается?

Что ж, ты прав. Другой учитель прав только в том случае, если он рассматривает массивный стержень. Кроме того, если он рассматривает массивный стержень, то он прав только в том случае, если рассматривает бесконечно малый интервал времени во время столкновения, а не после, и даже при том, что только при очень специфической комбинации параметров - это на самом деле очень тонко!

Вот почему. Поскольку в вашем сценарии стержень не имеет массы, во время столкновения две массы можно просто считать свободными. Вы проработали этот сценарий в своем посте. Затем, начиная сразу после столкновения, стержень служит для того, чтобы просто ограничить движение круговым движением. Следовательно, нам нужна сила натяжения, чтобы обеспечить центростремительную силу, как вы проанализировали.

Хорошо, теперь давайте посмотрим, почему другой учитель может быть прав. Если стержень массивный, то (он плюс масса на конце) его центр масс не находится на конце. Скажи, что это какое-то расстояние$x$от конца, к которому прикреплен груз (или, что то же самое,$L-x$подальше от шарнира). Далее предположим , что стержень имеет однородную плотность. Удаление этого предположения значительно усложняет задачу, но все еще разрешимо.

Что делает столкновение, так это обеспечивает бесконечную силу$F$, но с конечным импульсом (вспомните дельта-функцию). Предположим, что шарнир также обеспечивает бесконечную силу$F'$с конечным импульсом в обратном направлении. Посмотрим, будет ли эта сила$F'$является$0$.

Подаваемый импульс равен

$$\begin{align} J = \int F - F' dt. \end{align}$$ Но мы знаем, что если масса, ударяющая о стержень+масса, уносит свой веселый путь вместе с $v/2$(хотя ситуация немного нефизична, поскольку она должна «телепортироваться» на другую сторону), тогда по закону сохранения импульса установка стержень + масса должна приобрести скорость $$\begin{align} v' = \frac{m}{M(x)+m}\frac{v}{2}, \end{align}$$ где $M(x)$это масса стержня. ( $M$на самом деле является функцией $x$, потому что как только вы укажете, где находится центр масс, вы зададите массу стержня, и наоборот.)

Поскольку импульс вызывает изменение импульса системы масса + стержень$J = (M+m)\Delta v$, у нас есть

$$\begin{align} J = m \frac{v}{2}. \end{align}$$

Помимо линейного импульса, эти две силы также обеспечивают вращательный импульс, который заставляет массу + стержень вращаться. То есть,

$$\begin{align} (L-x)\int F' dt + x \int F dt = I(x) \omega, \end{align}$$ где $I(x)$- момент инерции системы масса + стержень относительно ее общего центра масс, определяемый теоремой о параллельных осях: $I(x) = \frac{ML^2}{12} + M(L/2 - x)^2 + mx^2$.

Хорошо, это немного грязно. Но продолжим. Давайте разберемся, что$\omega$является. Умножение$J$к$-x$и прибавляя к последнему уравнению, получаем

$$\begin{align} & L\int F' dt = I(x)\omega -xm \frac{v}{2} \end{align}$$ Теперь, если $\omega (L-x) = v'$, т. е. что скорость точки стержня + массы в шарнире, которая является суммой поступательной скорости плюс скорость вращения, равна $0$, затем $F' = 0$.

Теперь все эти анализы были сделаны в бесконечно малом временном интервале во время столкновения. Сразу после столкновения, сразу все утряслось. Тогда , независимо от того, какая у нас ситуация, у нас есть$\omega(L-x) = v$. Тогда сила шарнира на стержне будет касательной к движению из-за требований кругового движения.

Хорошо, короче говоря: если вы говорите сразу после столкновения, то горизонтальной силы не будет. если ты про время столкновения, то если стержень невесомый, то горизонтальной силы не будет. если вы про время столкновения, если стержень массивный, то вообще будет действовать горизонтальная сила.

Ваш друг-учитель был бы прав, если бы стержень не был безмассовым .

Предположим, что стержень имеет некоторую конечную массу. В этом случае центр масс (ЦМ) системы стержень/прикрепленный груз (которую я буду называть маятником) будет находиться где-то между присоединенным грузом и шарниром.

Если ЦМ находится не точно в точке столкновения, в дополнение к линейному ускорению массы к маятнику будет приложен крутящий момент . Таким образом, маятник будет пытаться вращаться вокруг своего ЦМ (как и вокруг шарнира). Этому вращению препятствует шарнир, который должен прикладывать равный и противоположный крутящий момент и, следовательно, горизонтальную силу (которая меньше, чем сила столкновения, поскольку она находится дальше от ЦМ, чем точка столкновения).

Теперь ваш стержень не имеет массы, поэтому сила приложена прямо через ЦМ маятника, следовательно, нет крутящего момента и горизонтальной шарнирной силы. Единственными силами, действующими на шарнир, являются центростремительная сила из-за того, что масса теперь имеет скорость вращения, а также вес массы, которая была там до столкновения.

$$\boldsymbol{F}_{hinge} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ mg + \frac{m}{l}\left(\frac{v}{2} \right)^2 \end{array} \right)$$ Горизонтальной силы нет, вертикальная сила равна весу + центростремительной. Вышеизложенное применимо только тогда, когда маятник находится непосредственно под шарниром.

Ответ другого учителя верен только в ситуации с потерями энергии на трение.

Если необходимо сохранить энергию, на систему не может действовать никаких внешних сил, параллельных движению при ударе, и, следовательно, единственная сила, действующая на стержень при ударе, должна быть вертикальной.