Неэрмитовость лагранжиана Дирака: нулевой импульс?

Question

Неэрмитовость лагранжиана Дирака: нулевой импульс?

Физика
уравнение Дирака
числа Грассмана
вторичное квантование
квантовая теория поля
каноническое сопряжение

СлучайныйПреобразование Фурье

Обычный лагранжиан Дирака $L(\psi,\bar\psi)=\bar\psi(i\not\partial-m)\psi$ . Канонические импульсы

π "=" \frac{\partial л}{\partial ψ_{, 0}} "=" я ψ^{†} \bar{π} "=" \frac{\partial л}{\partial {\bar{ψ}}_{, 0}} "=" 0

$\pi=\frac{\partial L}{\partial \psi_{,0}}=i\psi^\dagger \\ \bar \pi=\frac{\partial L}{\partial \bar\psi_{,0}}=0$

Дело в том, что $\bar\pi=0$ нигде не обсуждается в книгах, которые я читал. Если мы проигнорируем это и будем двигаться дальше, мы можем написать $\{\psi(t,x),\pi(t,y)\}=i\delta(x-y)$ , что фактически эквивалентно $\{\psi(t,x),\psi^\dagger(t,y)\}=\delta(x-y)$ .

Мы можем записать решение EOM как

ψ (Икс) "=" \sum_{с} \int \frac{д^{3} п}{(2 π)^{3} \sqrt{2 Е}} б_{п}^{с} {ты}^{с} (п) е^{я п \cdot Икс} + с_{п}^{с †} в^{с} (п) е^{- я п \cdot Икс}

$\psi(x)=\sum_s \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3\sqrt{2E}}\ b^s_p u^s(p) e^{ip\cdot x}+c^{s\dagger}_p v^s(p) e^{-ip\cdot x}$ где

b, c

$b,c$ являются операторами создания-уничтожения.

Кроме того, мы доказываем, что, например, $\{b^s(p),b^t(q)\}=(2\pi)^3\delta_{st}\delta(p-q)$ и аналогичное соотношение для $c_p$ . После этого мы легко доказываем, что $\{H,c_p^\dagger\}=\omega_p c_p^\dagger$ , Который означает, что $|p\rangle=c_p^\dagger|0\rangle$ , и $H|p\rangle=\omega_p|p\rangle$ , т.е. $|p\rangle$ имеет энергию $\omega_p$ .

Все идет нормально. Однако, если бы мы изучали эту теорию с первых принципов, мы также должны были бы наложить $\{\bar\psi(t,x),\bar\pi(t,y)\}=i\delta(x-y)$ , что невозможно, т.к. $\bar\pi=0$ (мы должны наложить этот коммутатор, потому что поля должны быть $\psi$ и $\bar\psi$ : их следует рассматривать как независимые переменные)

Легко видеть, что это связано с неэрмитовостью лагранжиана. Мы можем исправить это, вычитая полную производную $\frac{i}{2}\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)$ ; мы заканчиваем с

л (ψ, \bar{ψ}) "=" \frac{я}{2} \bar{ψ} ∂̸ ψ - \frac{я}{2} \partial_{мю} \bar{ψ} γ^{мю} ψ - \bar{ψ} м ψ

$L(\psi,\bar\psi)=\frac{i}{2}\bar\psi \not\partial\psi-\frac{i}{2}\partial_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi-\bar\psi m\psi$

Из этого нового лагранжиана мы получаем то же самое УЧП (уравнение Дирака), как и следовало ожидать. Кроме того, оба сопряженных импульса отличны от нуля:

π "=" \frac{\partial л}{\partial ψ_{, 0}} "=" \frac{я}{2} ψ^{†} \bar{π} "=" \frac{\partial л}{\partial {\bar{ψ}}_{, 0}} "=" \frac{я}{2} ψ

$\pi=\frac{\partial L}{\partial \psi_{,0}}=\frac{i}{2}\psi^\dagger \\ \bar \pi=\frac{\partial L}{\partial \bar\psi_{,0}}=\frac{i}{2}\psi$

Нетрудно видеть, что они приводят к тому же гамильтониану, что и раньше. Проблема исходит из $\frac{1}{2}$ фактор в $\pi,\bar\pi$ : они появляются тут и там. Например, канонические коммутационные соотношения меняются на $\{\psi(t,x),\psi^\dagger(t,y)\}=\boldsymbol{2}\delta(x-y)$ , которые, в свою очередь, эквивалентны $\{b^s(p),b^t(q)\}=\boldsymbol{2}(2\pi)^3\delta_{st}\delta(p-q)$ и $\{H,c_p^\dagger\}=\boldsymbol{2}\omega_p c_p^\dagger$ .

Это последнее отношение ужасно: состояние $|p\rangle$ имеет энергию, равную $\boldsymbol{2}\omega_p$ . Я чувствую, что оба подхода неудовлетворительны, по крайней мере, до определенного момента. Первый — обычный подход, но лагранжиан неэрмитов, а импульс сопряжен с $\bar\psi$ равно null, поэтому систематическое использование CCR невозможно. Второй исправляет обе эти проблемы, имеет то же уравнение движения и тот же гамильтониан, но CCR неверен в два раза, в результате чего энергия частиц $2\omega_p$ вместо $\omega_p$ .

Я знаю, что в SE есть много вопросов, похожих на этот, например

Неверное знаковое антикоммутационное соотношение для поля Дирака?

Уравнение Дирака как гамильтонова система

и т. д.

но эти люди спрашивали о знаках или других проблемах. Мой вопрос касается факторов $2$ который время от времени появляется, изменяя энергетический спектр теории.

Наконец, есть этот вопрос «От лагранжиана к гамильтониану в фермионной модели» , который довольно близок, но вопрос не ясен (некоторые свободные индексы в лагранжиане), и ОП говорит, что гамильтониан меняется с новым лагранжианом. Легко видеть, что это не так: гамильтониан тот же, но CCR разные (и это не рассматривается). Кроме того, в ответах утверждается, что импульсы не меняются, что, я считаю, неверно. Еще говорят, что поля такие, что $\partial \psi/\partial\bar\psi_{,0}\neq 0$ , и дальше это не объясняется (и я даже не знаю, правда это или нет).

Итак, может ли кто-нибудь пролить свет на это? Почему мы принимаем первый подход, несмотря на его недостатки? Разве не должен тот факт, что $\bar\pi=0$ вызвать какие-то подозрения? Почему второй подход не работает должным образом?

Ответы (1)

Неэрмитовость лагранжиана Дирака: нулевой импульс?

Qмеханик · Answer 1

ОП спрашивает о том, как выполнить сингулярное преобразование Лежандра для лагранжевой теории фермионов Дирака. Это уже было сделано в моем ответе Phys.SE здесь с использованием метода Faddeev-Jackiw . Однако ОП хочет рассмотреть традиционный метод Дирака-Бергмана. $^1$ анализ. Возможные осложнения были перечислены в моем ответе Phys.SE здесь .

Мы начинаем с явно реального $^2$ лагранжева плотность

\begin{matrix} (1) & л "=" \frac{я}{2} \sum_{мю "=" 0}^{3} (\bar{ψ} γ^{мю} \partial_{мю} ψ - \partial_{мю} \bar{ψ} γ^{мю} ψ) - м \bar{ψ} ψ "=" л_{0} - ЧАС, \end{matrix}

${\cal L}~=~\frac{i}{2}\sum_{\mu=0}^3\left(\bar\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi -\partial_{\mu}\bar\psi~\gamma^{\mu}\psi\right)-m\bar\psi \psi ~=~{\cal L}_0-{\cal H}, \tag{1}$

где

\begin{matrix} (2) & л_{0} "=" \frac{я}{2} (ψ^{†} \dot{ψ} - {\dot{ψ}}^{†} ψ), ЧАС "=" \frac{я}{2} \sum_{Дж "=" 1}^{3} (\bar{ψ} γ^{Дж} \partial_{Дж} ψ - \partial_{Дж} \bar{ψ} γ^{Дж} ψ) + м \bar{ψ} ψ . \end{matrix}

${\cal L}_0~:=~\frac{i}{2}\left(\psi^{\dagger}\dot{\psi} -\dot{\psi}^{\dagger}\psi\right), \qquad {\cal H}~:=~\frac{i}{2}\sum_{j=1}^3\left(\bar\psi\gamma^j\partial_j\psi -\partial_j\bar\psi~\gamma^j\psi\right)+m\bar\psi \psi.\tag{2}$

Первая проблема заключается в том, что сложные поля

\begin{matrix} (3) & ψ_{α} \equiv (ψ_{α}^{1} + я ψ_{α}^{2}) / \sqrt{2} и ψ_{α}^{†} \equiv (ψ_{α}^{1} - я ψ_{α}^{2}) / \sqrt{2}, \end{matrix}

$\psi_{\alpha}~\equiv~(\psi^1_{\alpha}+i\psi^2_{\alpha})/\sqrt{2} \quad\text{and}\quad \psi^{\dagger}_{\alpha}~\equiv~(\psi^1_{\alpha}-i\psi^2_{\alpha})/\sqrt{2}, \tag{3}$

не являются независимыми полями. Вероятно, будет наиболее убедительно, если мы перепишем теорию (1), используя действительную и мнимую части, $\psi^1$ и $\psi^2$ , которые являются двумя независимыми полями с действительными значениями. Затем

\begin{matrix} (4) & л_{0} "=" \frac{я}{2} \sum_{а "=" 1}^{2} (ψ^{а})^{Т} {\dot{ψ}}^{а} . \end{matrix}

${\cal L}_0~=~ \frac{i}{2}\sum_{a=1}^2 (\psi^a)^{T}\dot{\psi}^a .\tag{4}$

Теперь определим мнимозначные канонические импульсы

\begin{matrix} (5) & π_{а}^{α} "=" \frac{\partial_{р} л}{\partial {\dot{ψ}}_{α}^{а}} "=" \frac{я}{2} ψ_{α}^{а} \end{matrix}

$\pi_a^{\alpha}~:= ~\frac{\partial_R {\cal L}}{\partial\dot{\psi}_{\alpha}^a }~=~\frac{i}{2} \psi^a_{\alpha} \tag{5}$

как правильно $^3$ производная от ${\cal L}$ относительно $\dot{\psi}_{\alpha}^a$ . Ненулевые канонические скобки суперпуассона с одинаковым временем читаются

\begin{matrix} (6) & {ψ_{α}^{а} (Икс, т), π_{б}^{β} (у, т)}_{п Б} "=" {дельта}_{б}^{а} {дельта}_{α}^{β} {дельта}^{3} (Икс - у) . \end{matrix}

$\{ \psi^a_{\alpha}({\bf x},t),\pi_b^{\beta}({\bf y},t) \}_{PB}~=~\delta^a_b \delta_{\alpha}^{\beta} ~\delta^3({\bf x}-{\bf y}). \tag{6}$

[Любопытно, что каноническая скобка Пуассона $\{\cdot,\cdot\}$ сам по себе является мнимым в фермионном секторе.] Уравнение. (5) дает два основных ограничения

\begin{matrix} (7) & х_{а} "=" π_{а} - \frac{я}{2} ψ^{а} \approx 0, \end{matrix}

$\chi_a~:=~\pi_a - \frac{i}{2} \psi^a~\approx~0 ,\tag{7}$

которые являются ограничениями второго рода

\begin{matrix} (8) & Δ_{а б}^{α β} (Икс - у) "=" {х_{а}^{α} (Икс, т), х_{б}^{β} (у, т)}_{п Б} "=" - я {дельта}_{а б} {дельта}^{α β} {дельта}^{3} (Икс - у), \end{matrix}

$\Delta^{\alpha\beta}_{ab}({\bf x}-{\bf y})~:=~\{\chi^{\alpha}_a({\bf x},t),\chi_b^{\beta}({\bf y},t)\}_{PB}~=~-i\delta_{ab}~\delta^{\alpha\beta} ~\delta^3({\bf x}-{\bf y}),\tag{8}$

с обратной матрицей

\begin{matrix} (9) & (Δ^{- 1})_{α β}^{а б} (Икс - у) "=" я {дельта}^{а б} {дельта}_{α β} {дельта}^{3} (Икс - у) . \end{matrix}

$(\Delta^{-1})_{\alpha\beta}^{ab}({\bf x}-{\bf y})~=~i\delta^{ab}~\delta_{\alpha\beta} ~\delta^3({\bf x}-{\bf y}).\tag{9}$

Кронштейн Пуассона (6) следует заменить на кронштейн Дирака . Основные скобки Дирака читаются

\begin{matrix} (10) & {ψ_{α}^{а} (Икс, т), ψ_{β}^{б} (у, т)}_{Д Б} "=" - я {дельта}^{а б} {дельта}_{α β} {дельта}^{3} (Икс - у) . \end{matrix}

$\{ \psi^a_{\alpha}({\bf x},t),\psi^b_{\beta}({\bf y},t) \}_{DB} ~=~-i\delta^{ab}~\delta_{\alpha\beta} ~\delta^3({\bf x}-{\bf y}).\tag{10}$

Результат (10) согласуется с методом Фаддеева-Джекива, см., например, ур. (5') в моем ответе Phys.SE здесь , в котором также перечислены соответствующие канонические антикоммутационные соотношения (CAR).

Использованная литература:

А. Дас, Лекции по КТП, (2008); глава 10.

--

$^1$ Анализ Дирака-Бергмана нечетных полей Грассмана также рассматривается в моем ответе Phys.SE здесь .

$^2$ Можно показать, что лагранжева плотность (1) действительна, используя

\begin{matrix} (11) & (γ^{мю})^{†} "=" γ^{0} γ^{мю} γ^{0}, (γ^{0})^{2} "=" 1 . \end{matrix}

$(\gamma^{\mu})^{\dagger}~=~ \gamma^0\gamma^{\mu}\gamma^0,\qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}.\tag{11}$

Условные обозначения: в этом ответе мы будем использовать $(+,-,-,-)$ Соглашение о знаках Минковского и алгебра Клиффорда

\begin{matrix} (12) & {γ^{мю}, γ^{ν}}_{+} "=" 2 η^{мю ν} 1_{4 \times 4} . \end{matrix}

$\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}_+~=~2\eta^{\mu\nu}{\bf 1}_{4 \times 4}.\tag{12}$

$^3$ Левые и правые производные нечетных переменных Грассмана также обсуждаются в моем ответе Phys.SE здесь .

Неэрмитовость лагранжиана Дирака: нулевой импульс?

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (1)

Qмеханик

Уравнение Дирака в КТП против релятивистской КМ

Зачем нужно 2nd2nd2^\text{nd} квантование уравнения Дирака

Как каноническое квантование работает с переменными Грассмана?

Классический Фермион и число Грассмана

Вывод антикоммутационного соотношения между операторами рождения/уничтожения для фермионов Дирака

Получение волновой функции из уравнения поля

Является ли лагранжев член массы фермиона мнимым, а не реальным?

Каково классическое поле Дирака до вторичного квантования?

Суперпозиция состояний при вторичном квантовании

Доказательство того, что собственные значения фермионных операторов рождения/уничтожения являются числами Грассмана.