Каково классическое поле Дирака до вторичного квантования?

Просто чтобы упорядочить, поля называются классическими не потому, что они поддаются непосредственному измерению (электромагнитный векторный потенциал является классическим, но и неизмеримым), а потому, что они являются просто полями (с-число), как

$$\psi: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb C \qquad \text{or equivalently} \qquad \psi(x) \in \mathbb C \quad \text{for} \quad x \in \mathbb R^n,$$ в отличие от квантовых полей, которые имеют операторные значения $$\hat \psi(x): \mathcal F \rightarrow \mathcal F$$ за каждую точку$x \in \mathbb R^n$в космосе, где$\mathcal F$есть фоковское пространство, в котором они действуют.

Другими словами, классическая (Шредингера, Дирака) волновая функция$\psi$является элементом гильбертова пространства$\mathcal H$сам,$\psi \in \mathcal H$, тогда как квантовое (шредингеровское, дираковское) поле$\hat \psi(x)$является оператором в фоковском пространстве$\mathcal F$(что математически также является гильбертовым пространством).

Что касается первого и второго квантования , в гамильтоновой механике постулируется, что скобки Пуассона для положения и импульса становятся коммутаторами операторов положения и импульса.

$$\{q^i, p_j\} = \delta^i_j \qquad \rightarrow \qquad [Q^i, P_j] = i\, \hbar\, \delta^i_j$$ в то время как в теории поля предполагается, что скобки Пуассона поля и его канонический импульс становятся коммутаторами поля и его операторов импульса $$\{\phi(x), \pi(y)\} = \delta(x-y) \qquad \rightarrow \qquad [\Phi(x), \Pi(y)] = i\, \hbar\, \delta(x-y).$$ В обоих случаях получают алгебру операторов и ищут ее представления. В первом случае это гильбертово пространство$\mathcal H$, во втором фоковское пространство$\mathcal F$. Элементы$\mathcal H$являются (Шредингера, Дирака) первыми квантованными волновыми функциями$\psi$которые, рассматриваемые как классические поля, подвергаются вторичному квантованию , чтобы стать операторами в пространстве Фока.$\mathcal F$.

Лично я предпочитаю названия квантовая механика и квантовая теория поля как квантованные версии классической механики и классической теории поля соответственно.

Любое из этих волновых уравнений — Максвелла, Шрёдингера, Дирака, квадрат Дирака, Паули, Клейна-Гордона — являются классическими уравнениями поля. Их решения — это классические поля, которые ведут себя как представления группы Пуанкаре. Именно интерпретация этих классических полей делает теорию «квантовой». Например, я интерпретирую электромагнитный потенциал как математическое ожидание числа фотонов, энергии и т. д. Вот как я поступаю с дробовым шумом фотонов.

Квантовое поле представляет собой линейную комбинацию операторов рождения/уничтожения гармонических осцилляторов, где коэффициенты берутся из волновой функции.

Думаю, в данных ответах нет никакой мудрости (по крайней мере, физической!) Меня не волнует математическая интерпретация величины, чтобы назвать ее классической или квантовой механикой, но я почти уверен, что физика определяет разницу между классической и квантовой механикой!

Такие ответы, как утверждение, что квантовые поля — это операторнозначные распределения, а классические поля — это c-числа, являются просто аргументами и не означают ничего физически значимого!

Ваш вопрос весьма мудр из-за его очень честной точки зрения, и у меня также есть честный ответ на него:

Классические гамильтоновы уравнения для квантовых систем

Здесь вы можете увидеть, как можно построить классическую теорию из квантово-механического гамильтониана.

На мой взгляд, именно так можно прийти к классической теории поля для спиноров Дирака! Вы можете выбрать своим собственным базисом положение, импульс или что угодно, а затем совершенно формально установить лагранжиан Дирака!

Я думаю, все согласны с тем, что комплексный корень распределения вероятностей, безусловно, является классическим полем, поскольку он присваивает число (комплексное или действительное, векторное и т. д.) каждой точке пространства. Это и есть определение поля.

Таким образом, можно получить классическую систему с бесконечным числом степеней свободы («классические» осцилляторы, прикрепленные к каждой точке пространства), которую можно квантовать на следующем шаге (что означает, что осцилляторы (значения поля) больше не будут считаться классическими). ). Это заполняет пробел между первым и вторым квантованием, хотя я лично думаю, что классическая система всегда квантуется на каждом уровне, поэтому нет смысла говорить о втором квантовании, имеющем коннотации, подобные квантованию уже квантованной системы, что не так!

Не нужно математики, поскольку есть простые физически осмысленные интерпретации :)