Преобразование фотонов при преобразовании Лоренца

Question

Преобразование фотонов при преобразовании Лоренца

фотоны
Физика
теория поля
Лоренц-симметрия
симметрия Пуанкаре
квантовая теория поля

СРС

Этот вопрос является продолжением одного из моих предыдущих постов. В этом посте я спросил о преобразовании фотонных полей при вращении. Здесь я обобщаю вопрос на преобразование Лоренца и мотивирую причину, по которой задаю вопрос.

При преобразовании Лоренца фермионное поле $\psi(x)$ трансформируется как

ψ^{'} ({Икс}^{'}) "=" опыт [- \frac{я}{4} о_{мю ν} ю^{мю ν}] ψ (Икс) .

$\psi^\prime(x^\prime)=\exp[-\frac{i}{4}\sigma_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu}]\psi(x).$ Отсюда мы можем прочитать генераторы Лоренца (как генераторы вращения, так и импульсные генераторы).

{Дж}_{мю ν} "=" я ({Икс}_{мю} \partial_{ν} - {Икс}_{ν} \partial_{мю}) + \frac{1}{2} о_{мю ν}

$J_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)+\frac{1}{2}\sigma_{\mu\nu}$ Используя это, мы можем вычислить

W_{μ} W^{μ}

$W_\mu W^\mu$ показать, что

{Вт}_{мю} {Вт}^{мю} "=" - м^{2} \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 1)

$W_\mu W^\mu=-m^2\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)$

W_{μ}

$W_\mu$ является 4-вектором Паули-Лубанского.

Как фотонное поле (которое является векторным полем) трансформируется при преобразовании Лоренца? На самом деле мне нужно выражение, такое как приведенное выше преобразование, относящееся

А_{мю}^{'} ({Икс}^{'}) "=" (. . .)_{мю}^{ν} А_{ν}

$A_\mu^\prime(x^\prime)=(...)_\mu^\nu A_\nu$ чтобы я мог считывать генераторы и вычислять

W_{μ} W^{μ}

$W_\mu W^\mu$ .

Есть и другие способы вычислений $W_\mu$ для безмассовых частиц, но я думаю, что если преобразование фотонного поля можно записать, то коммутирование $W_\mu W^\mu$ станет более ярким. Может ли кто-нибудь помочь мне с таким выражением?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Поскольку, $A_\mu$ является векторным полем, я предполагаю, что оно преобразуется как $x_\mu$ , т.е.

А_{мю}^{'} "=" Λ_{мю}^{ν} А_{ν} .

$A_\mu^\prime=\Lambda_\mu^\nu A_\nu.$ В этом случае генераторы те же, что и для

x_{μ}

$x_\mu$ . Я подозреваю, что даже если генераторы вращения для фотонов

J_{i}

$J_i$ , они не могут удовлетворять алгебре SU (2), потому что если бы это было так, то фотоны должны были бы преобразоваться, как представление SU (2). Как безмассовость фотона изменит коммутационное соотношение между различными

J_{i}

$J_i$ отличается от алгебры SU (2)?

честный_vivere

Возможно, я что-то упустил, но разве фотон не всегда движется со скоростью

c

$c$ во всех системах Лоренца? Это означает, что импульс фотона не инвариантен относительно системы отсчёта? Или вы про тензор электромагнитного поля спрашиваете

F^{ν λ} = \partial^{ν} A^{λ} - \partial^{λ} A^{ν}

$F^{\nu \lambda} = \partial^{\nu} A^{\lambda} - \partial^{\lambda} A^{\nu}$ ?

СлучайныйПреобразование Фурье

@honeste_vivere величина импульса неизменна (

p^{2} = 0

$p^2=0$ в любом кадре). Но сам импульс не является инвариантным: его направление меняется, если вы вращаете рамку.

честный_vivere

@AccidentalFourierTransform - А, я вижу, что искал ОП ... Спасибо за разъяснение.

Ответы (1)

Преобразование фотонов при преобразовании Лоренца

Возможно, я что-то упустил, но разве фотон не всегда движется со скоростью $c$ во всех системах Лоренца? Это означает, что импульс фотона не инвариантен относительно системы отсчёта? Или вы про тензор электромагнитного поля спрашиваете $F^{\nu \lambda} = \partial^{\nu} A^{\lambda} - \partial^{\lambda} A^{\nu}$ ?
@honeste_vivere величина импульса неизменна ( $p^2=0$ в любом кадре). Но сам импульс не является инвариантным: его направление меняется, если вы вращаете рамку.
@AccidentalFourierTransform - А, я вижу, что искал ОП ... Спасибо за разъяснение.

Любопытный Разум · Answer 1

Электромагнитный потенциал $A^\mu$ является четырехвектором и, следовательно, преобразуется в фундаментальное представление $\mathrm{SO}(1,3)$ , т.е. $A^\mu\mapsto \Lambda^\mu_\nu A^\nu$ где $\Lambda$ — обычная матрица 4x4, связанная с преобразованием Лоренца.

Ваш вопрос кажется принципиально запутанным о разнице между полем и частицей . Поле преобразуется как обычный четырехвектор . Частица - нет. Это связано с тем, что здесь вы должны различать два разных вида групповых представлений:

Каждое (классическое) поле $\phi: \mathbb{R}^4\to V$ имеет некоторое целевое пространство $V$ , где $V$ является конечномерным представлением соответствующих групп симметрии. В случае электромагнитного потенциала $V$ является фундаментальным представлением - «векторным представлением» - группы Лоренца. $\mathrm{SO}(1,3)$ .
На гильбертовом пространстве состояний квантовой теории имеется другое, унитарное представление. Унитарные представления группы Пуанкаре обязательно бесконечномерны (группа Лоренца не имеет конечномерных унитарных представлений), а возможные бесконечномерные представления соответствуют частицам по классификации Вигнера .

Конечномерное представление $\rho_\text{fin}$ и унитарное представление $\rho_\text{U}$ связаны одной из аксиом Вайтмана:

\begin{matrix} (1) & р_{плавник} (Λ) ф "=" р_{U} (Λ) ф р_{U} (Λ)^{†} \end{matrix}

$\rho_\text{fin}(\Lambda)\phi = \rho_\text{U}(\Lambda)\phi\rho_\text{U}(\Lambda)^\dagger\tag{1}$ где слева

ϕ

$\phi$ действует как классический вектор, а справа на него действует как операторнозначное поле в бесконечномерном гильбертовом пространстве, как в квантовой теории. Это соотношение, по существу, должно гарантировать, что преобразование поля как оператора в пространстве состояний квантовой теории согласуется с его классическим поведением преобразования.

Безмассовость фотона не отражается ни в каких изменениях коммутационных соотношений алгебры Лоренца (и я не знаю, почему вы так думаете). Что делает безмассовость, так это изменяет небольшую группу (см. поверхность транзитивности или, например , эти заметки ), которая является группой, относительно которой инвариантен четырехимпульс частицы. Для массивных частиц малая группа $\mathrm{SU}(2)$ , но для безмассовых это двумерная евклидова группа $\mathrm{E}(2)$ (или $\mathrm{ISO}(2)$ ).

Разные маленькие группы классифицируют разные бесконечномерные унитарные представления, и действительно, довольно необычная маленькая группа $\mathrm{E}(2)$ фотона приводит к стандартным генераторам $\mathfrak{so}(1,3)$ действует довольно необычно на состояние фотона. В частности, поскольку $\mathrm{SU}(2)$ не маленькая группа, вы не можете ожидать, что вращения действуют так же, как для массивных частиц.

Если вас интересует подробный вывод структуры малой группы и ее разрешенных проективных представлений, взгляните, например, на вторую половину главы 2 книги « Квантовая теория полей», том. Я по Вайнбергу.

Есть тонкая проблема с отношением $(1)$ для безмассовых полей. Как можно показать (см. снова Вайнберга), векторное поле, построенное из операторов рождения/уничтожения безмассовой частицы, может подчиняться только модифицированной версии

\begin{matrix} (2) & р_{U} (Λ) ф р_{U} (Λ)^{†} "=" р_{плавник} (Λ) ф + г Ом \end{matrix}

$\rho_\text{U}(\Lambda)\phi\rho_\text{U}(\Lambda)^\dagger = \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi + \mathrm{d}\Omega\tag{2}$ для функции пространства-времени

Ω

$\Omega$ . Поэтому, чтобы сделать отношение

(1)

$(1)$ квантового пространства состояний, мы должны потребовать, чтобы

A \mapsto A + d Ω

$A\mapsto A + \mathrm{d}\Omega$ есть калибровочная симметрия теории, которая должна быть отнесена к наивному пространству состояний, на котором

(2)

$(2)$ выполняется для получения фактического пространства физических состояний. Взяв частное, идентифицируя состояния, связанные с калибровкой (и операторы),

(2)

$(2)$ становится

(1)

$(1)$ на реальном пространстве состояний (поскольку

A + d Ω = A

$A+\mathrm{d}\Omega = A$ после взятия частного). Это показывает, что каждое безмассовое векторное поле должно быть калибровочным полем в квантовой теории поля.

У меня сейчас нет моей копии Вайнберга I, но, кажется, я помню, что он обсуждает, что поле для безмассовых частиц в общем случае не преобразуется подобно $A\to\Lambda A$ , но что-то вроде $A\to\Lambda A+\mathrm d\Omega$ для некоторых $\Omega$ . Если мы хотим $A$ чтобы преобразовать как вектор, мы должны идентифицировать $A$ и $A+\mathrm d\Omega$ , что означает, что безмассовые поля должны быть калибровочными полями . Если $A$ были массивными, было бы правдой, что $A\to\Lambda A$ ; но так как фотон безмассовый, то закон преобразования не $A\to\Lambda A$ (Я не помню подробностей этого, что-то о маленькой группе...)
@AccidentalFourierTransform: Действительно, Вайнберг доказывает, что векторное поле, построенное из операторов c/a безмассовых частиц, должно быть калибровочным полем (главы 5.9 и 8). Однако подход Вайнберга к построению квантовых полей своеобразен — он строит их из с/а-операторов частиц. В этом ответе $A^\mu$ это всего лишь электромагнитный четырехпотенциал, и он квантуется. Если вы попытаетесь разложить его на моды Фурье и интерпретировать моды как операторы c/a, у вас возникнут проблемы. Решение состоит в том, чтобы реализовать процедуру BRST, а не изменять поле trafo.
Достаточно справедливо [должен признать, что мне очень нравится подход Вайнберга :)]. Я просто хотел указать, что в некоторых случаях преобразование для $A$ не так тривиально, но вы правы, это характерно для подхода W.
@Acuriousmind Вы имеете в виду, что классическое безмассовое поле, такое как электромагнитное поле, будучи векторным полем, преобразуется так же, как классические поля W-бозона или Z-бозона? Не будет ли сложности из-за безмассовости фотонного поля на классическом уровне?
@Acuriousmind Свойство преобразования спинорного поля, которое я написал в вопросе, позволяет нам вычислять $W^2$ для фермионов путем идентификации образующих $J_{\mu\nu}$ . В случае классического фотонного поля нельзя ли вычислить $W^2$ , таким же образом, идентифицируя генераторы? Если да, то как?
@SRS: я добавлю раздел, посвященный проблеме преобразования калибровки. Вы смотрели статью в Википедии для $W^2$ ? Это довольно просто объясняет, как вычислять псевдовектор Паули-Лубански на безмассовых представлениях.
@Acuriousmind Да. Есть способы расчета $W^2$ как для массивных, так и для безмассовых полей, начиная со стандартного четырехимпульса. Но я хотел другого. я хочу ездить на работу $W^2$ для представления, выяснив $J_{\mu\nu}$ соответствующий этому представлению и использующий определение $W^\mu$ . Я ясно объяснил это в своем вопросе, для фермионного поля спина $-1/2$ . Почему бы не найти аналогичное выражение для $J_{\mu\nu}$ в случае фотонного поля и явной оценки $W^2$ ?
@ACuriousMind - Этот способ вычислений $W^2$ , в случае фермионных полей показывает, что спиновое квантовое число электрона равно $1/2$ . аналогичным образом я хочу найти образующие $J_{\mu\nu}$ для фотонного поля и использовать тот же рецепт для вычисления $W^2$ как упоминалось в вопросе о фермионном поле. Тогда ответ должен напрямую воспроизводить собственные значения спиральности $\pm 1$ . Я просто предлагаю более прямой способ расчета $W^\mu$ и поэтому $W^2$ .
@SRS: я сказал вам, что «фотонное поле» преобразуется в обычное четырехвекторное представление. Итак, вместо $\sigma_{\mu\nu}$ , вы просто используете обычные генераторы $\mathfrak{so}(1,3)$ себя, которые $M_{\mu\nu}$ с записями $(M_{\mu\nu})_{\sigma\rho} = \mathrm{i}(\eta_{\mu\sigma}\eta_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma})$ .
Это звучит хорошо, и это то, что я догадался, как уже упоминалось в части вопроса EDIT. Хорошо. Я попробую сделать это. :-) Но я думаю, что это не даст значений спиральности, если мы не добавим информацию о том, что электромагнитное поле не только векторное, но и безмассовое.

Преобразование фотонов при преобразовании Лоренца

СРС

честный_vivere

СлучайныйПреобразование Фурье

честный_vivere

Ответы (1)

Любопытный Разум

СлучайныйПреобразование Фурье

любопытный разум

СлучайныйПреобразование Фурье

СРС

СРС

любопытный разум

СРС

СРС

любопытный разум

СРС

Скалярные операторы в квантовой теории поля

S-операторная лоренц-инвариантность

Неинвариантность Пуанкаре в реальном мире и теории поля

Как подсчитать количество мод/поляризаций гауссовой теории поля?

Почему релятивистские волновые функции должны преобразовываться при преобразовании Лоренца, а не Пуанкаре?

Как два независимых состояния поляризации фотона связаны с двумя состояниями спиральности?

Вывод полного генератора преобразований Лоренца

Какое матричное представление оператора импульса (генератора трансляций) используется в коммутаторах группы Пуанкаре?

Почему изучают представления группы Лоренца, а не только представления группы Пуанкаре?

От представлений к теориям поля