Нормальный порядок нормального порядка

В первом томе Полчинского на странице 39 мы можем прочитать компактную формулу для выполнения нормального порядка для бозонных полей.

(1) : Ф :   "="   опыт ⁡ { α ′ 4 ∫ д 2 г д 2 ж бревно ⁡ | г − ж | 2 дельта дельта ф ( г , г ¯ ) дельта дельта ф ( ж , г ¯ ж ) } ⏟ "=" О Ф ,

Чего я не понимаю, так это того, что я хотел бы иметь (имея в виду определение, включающее а и а †

(2) :: Ф ::   "="   : Ф :
но с этой формулой
(3) О 2 Ф   ≠   О Ф .

ПРИМЕР:

(4) : ф ( г ) ф ( ж ) :   "="   ф ( г ) ф ( ж ) − α ′ 2 бревно ⁡ | г − ж | 2
но
(5) :: ф ( г ) ф ( ж ) ::   "="   : ф ( г ) ф ( ж ) : − α ′ 2 бревно ⁡ | г − ж | 2   "="   ф ( г ) ф ( ж ) − α ′ бревно ⁡ | г − ж | 2 .

Ответы (1)

  1. Краткое пояснение: уравнение Полчинского. (1) не является формулой, которая не переводит нормальный порядок в нормальный порядок: выражение Ф в правой части ур. (1) неявно предполагается радиально упорядоченным. Фактически, ур. (1) — теорема Вика об изменении радиального порядка на нормальный, ср. например, этот пост Phys.SE.

  2. Более подробное объяснение: при работе с некоммутативными операторами скажем Икс ^ и п ^ , "функция операторов" ф ( Икс ^ , п ^ ) не имеет смысла, если не указано предписание оператора упорядочения (например, радиальное упорядочение, упорядочение по времени, Виковское/нормальное упорядочение, Вейлевское/симметричное упорядочение и т. д.). Более строгим способом является введение карты соответствия

    (А) Символы/Функции ↕ Операторы
    (Например, карта соответствия символов Вейля операторам объясняется в этом сообщении Phys.SE.) Чтобы определить оператор О ^ на операторах часто дают соответствующий оператор О на символы/функции, т.е.
    (Б) Символы/функции радиального порядка ⟶ О Символы/функции нормального порядка ↕ ↕ Радиально-упорядоченные операторы ⟶ О ^ Операторы нормального порядка
    Например, дифференциальный оператор Полчинского О строго говоря, имеет смысл только в том случае, если он действует на символы/функции. Идентификация (А) символов и операторов неявно подразумевается у Полчинского.

  3. Относительно идемпотентности нормального порядка см. также, например, этот связанный пост Phys.SE.

Спасибо. Прочитал пост про идемпотентность. Но есть еще что-то, чего я не могу понять. Дело в том, что для операторов, квадратичных по полям, вроде бы выполняется, но не в общем случае. Например. Если я попытаюсь использовать уравнение (1) для нормального порядка, я получу константу О 1 "=" 1 вместо 0 как я должен ожидать.
@MaPo Нормальный порядок константы - это константа, почему вы ожидаете 0?
Вы правы, но я действительно не могу понять. Например, пример @ACuriousMind, кажется, говорит нам, что невозможно определить эту операцию на самом деле. Я очень запутался и не знаю, как применить формулу. Тем не менее, если нормальным порядком константы является константа isfelf, то где ошибка в выводе уравнений (4) и (5), которая, кажется, показывает, что идемпотентность не работает?
Вы можете работать только с О на радиально упорядоченных выражениях. Поэтому вы не можете подать заявку О дважды, так как после первого применения О , выражение больше не является радиально упорядоченным.
Большое спасибо! Теперь я понял, как правильно применять Полчински (1). Кроме того, что меня сейчас беспокоит, так это пример @ACuriousMind, который, кажется, утверждает, что линейность терпит неудачу в нормальном порядке, просто применяя определение, вообще игнорируя радиальный порядок. Есть ли выход?
Линейность   : Ф 1   +   Ф 2 :   "="   : Ф 1 :   +   : Ф 2 :   порядка оператора (например, нормального порядка) имеет место, если аргументы Ф 1 и Ф 2 уже каким-то образом упорядочены, например, радиально. (Обратите внимание, в частности, что предварительный порядок аргументов устраняет неоднозначность порядка операторов, используемую в контрпримере ответа ACuriousMind.)
Не должны ли стрелки под О и О ^ идти справа налево?
@Привет До свидания: Спасибо! Исправлено направление в ур. (Б).
Нормальный порядок нормального порядка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v