Почему/как эта теорема Вика?

Question

Почему/как эта теорема Вика?

Физика
операторы
супералгебра
теорема о фитиле
квантовая теория поля
конформная теория поля

пользователь6818

Позволять $\phi$ быть скалярным полем, и тогда я вижу следующее выражение (1) для квадрата нормально упорядоченной версии $\phi^2(x)$ .

\begin{aligned} Т (: ф^{2} (Икс) :: ф^{2} (0) :) & знак равно 2 ⟨ 0 | Т (ф (Икс) ф (0)) | 0 ⟩^{2} \\ + 4 ⟨ 0 | Т (ф (Икс) ф (0)) | 0 ⟩ : ф (Икс) ф (0) : \\ (1) & + : ф^{2} (Икс) ф^{2} (0) : \end{aligned}

$\begin{align} T(:\phi^2(x)::\phi^2(0):) &= 2 \langle 0|T(\phi(x)\phi(0))|0 \rangle^2 \\ &+ 4\langle 0|T(\phi(x)\phi(0))|0 \rangle:\phi(x)\phi(0): \\ &+ :\phi^2(x)\phi^2(0): \tag{1} \end{align}$

Было бы здорово, если бы кто-нибудь помог вывести приведенное выше выражение - может быть, с нуля - и без аутсорсинга теоремы Вика - и, возможно, помог бы понять, почему приведенное выше связано (равно?) с теоремой Вика?

Разве вышеперечисленное не известно также как OPE (расширение продукта оператора)? Если да, то есть ли вообще разница между ОРЕ и теоремой Вика? Существует ли систематический способ получения таких ОРЕ?
Можно ли помочь распространить это на фермионы?

Ответы (1)

Почему/как эта теорема Вика?

Qмеханик · Answer 1

Как отмечает Любош Мотл в комментарии, для всех практических целей искомая экв. (1) доказывается с помощью теоремы Вика.

Интересно попытаться обобщить теорему Вика и попытаться свести к минимуму количество входящих в нее допущений. Здесь мы обрисуем один из возможных подходов.

I) Предположим, что семья $(\hat{A}_i)_{i\in I}$ операторов $\hat{A}_i\in{\cal A}$ живет в (супер) операторной алгебре ${\cal A}$

с (супер) коммутатором $[\cdot,\cdot]$ , и
с центром $Z({\cal A})$ .

Здесь

индекс $i\in I$ работает над набором индексов $I$ (может быть непрерывным) и
индекс $i$ содержит информацию, такую как, например, положение $x$ , момент времени $t$ , метка уничтожения/создания, тип поля и т. д. оператора $\hat{A}_i$ .

II) Предположим, что

\forall я, Дж е я : [{\hat{А}}_{я}, {\hat{А}}_{Дж}] е Z (А) .

$\forall i,j\in I~: \qquad [\hat{A}_i,\hat{A}_j] ~\in~Z({\cal A}).$

III) Предположим, что даны два рецепта упорядочения, скажем $T$ и $::$ . Здесь $T$ и $::$ может в принципе обозначать любые два предписания упорядочения, например временной порядок, нормальный порядок, радиальный порядок, порядок Вейля $^1$ и т. д. Это означает, что набор индексов $I$ наделен двумя строгими тотальными порядками , скажем, $<$ и $\prec$ , соответственно, такой, что

The $T$ символ является (градуированным) полилинейным относительно. суперчисла .
$T(\hat{A}_{\pi(i_1)}\ldots\hat{A}_{\pi(i_n)})~=~(-1)^{\sigma_{\pi}} T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )$ является (градуированным) симметричным , где $\pi\in S_n$ является перестановкой $n$ элементы и $(-1)^{\sigma_{\pi}}$ – знаковый фактор Кошуля. $^2$
$T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )~=~\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n}$ если $i_1 > \ldots > i_n$ .
В частном случае, когда некоторые из $i_1 , \ldots , i_n$ равны $^3$ (относительно порядка <), то следует симметрировать в соответствующем (градуированном) смысле над соответствующими подмножествами. Например,
$Т ({\hat{А}}_{я_{1}} \dots {\hat{А}}_{я_{н}}) знак равно {\hat{А}}_{я_{1}} \dots {\hat{А}}_{я_{к - 1}} \frac{{\hat{А}}_{я_{к}} {\hat{А}}_{я_{к + 1}} + (- 1)^{| \hat{А} я_{к} | | \hat{А} я_{к + 1} |} {\hat{А}}_{я_{к + 1}} {\hat{А}}_{я_{к}}}{2} {\hat{А}}_{я_{к + 2}} \dots {\hat{А}}_{я_{н}}$ $T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )~=~\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_{k-1}}\frac{\hat{A}_{i_k}\hat{A}_{i_{k+1}}+(-1)^{|\hat{A}{i_k}||\hat{A}{i_{k+1}}|}\hat{A}_{i_{k+1}}\hat{A}_{i_k}}{2}\hat{A}_{i_{k+2}}\ldots\hat{A}_{i_n}$ если $i_1 > \ldots > i_k=i_{k+1}> \ldots > i_n$ .

[Аналогичные условия 1-4 должны выполняться для второго порядка $(::,\prec)$ .]

IV) Тогда из предположений I—III следует, что (обобщенные) сокращения

{\hat{С}}_{я Дж} знак равно Т ({\hat{А}}_{я} {\hat{А}}_{Дж}) - : {\hat{А}}_{я} {\hat{А}}_{Дж} : е Z (А)

$\hat{C}_{ij}~=~T(\hat{A}_i\hat{A}_j)~-~:\hat{A}_i\hat{A}_j:~\in~Z({\cal A})$ принадлежат к центру

Z (A)

$Z({\cal A})$ . Схватки градуированные симметричные

{\hat{С}}_{я Дж} знак равно (- 1)^{| {\hat{А}}_{я} | | {\hat{А}}_{Дж} |} {\hat{С}}_{Дж я} .

$\hat{C}_{ij}~=~(-1)^{|\hat{A}_i||\hat{A}_j|} \hat{C}_{ji}.$

V) Предположим далее, что сокращения $\hat{C}_{ij}$ не зависит от операторов $\hat{A}_k$ , т.е.

\frac{\partial {\hat{С}}_{я Дж}}{\partial {\hat{А}}_{к}} знак равно 0

$\frac{\partial \hat{C}_{ij}}{\partial \hat{A}_k}~=~0$ чтобы упростить комбинаторные рассуждения ниже.

VI) Теперь нетрудно установить соответствующую теорему Вика.

Т (ф (\hat{А})) знак равно опыт (\frac{1}{2} \sum_{я, Дж е я} {\hat{С}}_{я Дж} \frac{\partial}{\partial {\hat{А}}_{Дж}} \frac{\partial}{\partial {\hat{А}}_{я}}) : ф (\hat{А}) :,

$T(f(\hat{A})) ~=~ \exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_i} \right):f(\hat{A}):,$ что означает правило повторного выражения одного рецепта заказа

T (f (\hat{A}))

$T(f(\hat{A}))$ [куда

f

$f$ является достаточно хорошей функцией

({\hat{A}}_{i})_{i \in I}

$(\hat{A}_i)_{i\in I}$ семья] с точки зрения другого рецепта заказа

::

$::$ и (множественные) сокращения

{\hat{C}}_{i j}

$\hat{C}_{ij}$ . И наоборот с ролями двух порядков

T

$T$ и

::

$::$ взаимозаменяемы:

: ф (\hat{А}) : знак равно опыт (- \frac{1}{2} \sum_{я, Дж е я} {\hat{С}}_{я Дж} \frac{\partial}{\partial {\hat{А}}_{Дж}} \frac{\partial}{\partial {\hat{А}}_{я}}) Т (ф (\hat{А})) .

$:f(\hat{A}): ~=~ \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_i} \right)T(f(\hat{A})).$ Такие теоремы Вика теперь можно последовательно применять для установления вложенных теорем Вика, таких как, например,

^{4}

$^4$

Т (: ф (\hat{А}) :: грамм (\hat{А}) :) знак равно {опыт (\sum_{я, Дж е я} {\hat{С}}_{я Дж} \frac{\partial}{\partial {\hat{А}}_{Дж}} \frac{\partial}{\partial {\hat{Б}}_{я}}) : ф (\hat{А}) грамм (\hat{Б}) : |}_{\hat{Б} знак равно \hat{А}} .

$T(:f(\hat{A})::g(\hat{A}):) ~=~ \left. \exp\left(\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{B}_i} \right) :f(\hat{A}) g(\hat{B}): \right|_{\hat{B}=\hat{A}}.$ Эти теоремы Вика могут быть распространены на более широкий класс операторов, чем просто операторы.

({\hat{A}}_{i})_{i \in I}

$(\hat{A}_i)_{i\in I}$ семьи через (градуированную) полилинейность.

VII) Предположим теперь, что операторы $\hat{A}_i$ являются бозонными для простоты. Частным следствием вложенной теоремы Вика является следующая версия

Т (: {\hat{А}}_{я}^{2} :: {\hat{А}}_{Дж}^{2} :) знак равно 2 {\hat{С}}_{я Дж}^{2} + 4 {\hat{С}}_{я Дж} : {\hat{А}}_{я} {\hat{А}}_{Дж} : + : {\hat{А}}_{я}^{2} {\hat{А}}_{Дж}^{2} :

$T(:\hat{A}^2_i::\hat{A}^2_j:) ~=~ 2\hat{C}_{ij}^2 + 4 \hat{C}_{ij}:\hat{A}_i\hat{A}_j: + :\hat{A}^2_i\hat{A}^2_j:$

искомого экв. (1). Наконец, отметим, что теорема Вика, радиальный порядок, OPE и т. д . также обсуждаются в этом и этом постах Phys.SE.

--

Сноски:

$^1$ Пример: симметричный порядок Вейля удовлетворяет

Вт (ф (\hat{А})) знак равно {опыт (\sum_{я е я} {\hat{А}}_{я} \frac{\partial}{\partial а_{я}}) ф (а) |}_{а знак равно 0} .

$W(f(\hat{A})) ~=~\left. \exp\left(\sum_{i\in I}\hat{A}_i \frac{\partial}{\partial a_i} \right) f(a) \right|_{a=0}.$ Подробнее см., например, мой ответ Phys.SE здесь .

$^2$ Соглашение о знаках Кошула дает знак минус каждый раз, когда переставляются два нечетных объекта Грассмана. В этом ответе $|\hat{A}_i|=0,1 \pmod 2$ обозначает грассманову четность $\hat{A}_i$ .

$^3$ Будучи равными относительно. порядок вообще является отношением эквивалентности, и часто это более слабое условие, чем равенство элементов $I$ .

$^4$ Вложенная теорема Вика (между радиальным порядком и нормальным порядком) кратко сформулирована в уравнении. (2.2.10) на с. 39 в J. Polchinski, String Theory, Vol. 1. Остерегайтесь того, что радиальный порядок часто только неявно записывается в текстах CFT. Кстати, побочный эффект/особенность вложенных символов упорядочения обсуждаются в этом посте Phys.SE.

Мне нравится этот ответ таким, какой он есть, поскольку он очень ясно показывает, что теорема Вика — это не теорема о КТП, а скорее совершенно общая теорема об алгебрах, подчиняющихся нескольким простым аксиомам. Стандартная обработка учебника с полями и VEV запутывает то, что на самом деле является просто базовой алгеброй.
1. Есть ли у вас ссылки, где описанные выше шаги выполняются подробно и явно? 2. В частности, мне не совсем понятно, как выполняется операция заказа. $T$ определяется для равных времен в КТП и соответствует ли оно тому, что дано в пункте 4 условия III. 3. Кроме того, у меня возникли проблемы с доказательством теоремы Вика в VI, некоторые дополнительные детали были бы чрезвычайно полезны. Большое спасибо!

Почему/как эта теорема Вика?

пользователь6818

Ответы (1)

Qмеханик

Джонатан

Слепой шахтер

Теорема Вика для вычисления OPE

Слишком много теорем Вика!

Нормальный порядок нормального порядка

Двойные сокращения OPE между TTT и eikXeikXe^{ikX}

Расширение операторского продукта в ЦФТ

Почему OPE имеют конечный радиус схождения в КТП, но не обязательно в КТП?

Почему корреляционные функции определяются только как упорядоченные по времени?

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Основное уравнение бозонизации

Временной порядок против нормального порядка и двухточечная функция/пропагатор