Определения оператора нормального упорядочения в КТП и КТП

Question

Определения оператора нормального упорядочения в КТП и КТП

Бенджамин Горовиц

Напомним, что нормальное упорядочение бозонных операторов в КТП определяется перестановкой операторов так, чтобы в произведении операторы рождения располагались слева от операторов уничтожения. Это сделано для того, чтобы избежать случайного уничтожения $|0\rangle$ при взгляде на ожидаемое значение по отношению к состоянию вакуума.

: {\hat{б}}^{†} \hat{б} : "=" {\hat{б}}^{†} \hat{б} : \hat{б} {\hat{б}}^{†} : "=" {\hat{б}}^{†} \hat{б}

$: \hat{b}^\dagger\hat{b} : \: =\: \hat{b}^\dagger\hat{b} \\ : \hat{b}\hat{b}^\dagger: \: = \: \hat{b}^\dagger\hat{b}$

Я видел, что в КТП нормальное упорядочение операторов определяется как нулевое базисное поле лорановского разложения продукта радиального упорядочения.

р (а (г) б (ш)) "=" \sum_{н "=" - н_{0}}^{\infty} (г - ш)^{н} п_{н} (ш),

$\mathcal{R}(a(z)b(w)) = \sum_{n = -n_0}^\infty (z-w)^n P_n(w),$

и выберите

п_{0} (ш) "=" : а (ш) б (ш) :

$P_0(w) = \: : a(w)b(w) :$

Есть ли эквивалентность между этими двумя определениями? Что такое КТП-аналог неаннигилирующего вакуума/как мы покажем, что это определение обладает этим свойством?

Дэвид З.

Ха, интересно, второго я не видел (кажется).

Любош Мотл

Радиальное упорядочение, как вы его определили, явно является более общей вещью,

P_{0}

$P_0$ часть включает в себя нормальный порядок как инструмент. Итак, эквивалентность, о которой вы спрашиваете, подобна эквивалентности между Соединенными Штатами и Нью-Джерси. Часть нормального порядка в Нью-Джерси эквивалентна, а остальная часть — нет. В общем случае радиальное упорядочение конформно эквивалентно временному упорядочению, но временное упорядочение и нормальное упорядочение — довольно разные вещи, хотя и имеют некоторые математические аналогии.

Тенген

Если ОРЕ двух полей содержит только один сингулярный член с постоянным коэффициентом, как в случае свободных полей, то вычитание значения вакуумного среднего (ваше первое определение) может служить правильной процедурой регуляризации. Если ОРЕ является более сложным, например произведением двух тензоров энергии-импульса, в качестве второго определения необходимо вычесть все сингулярные члены.

Ответы (1)

Определения оператора нормального упорядочения в КТП и КТП

Ха, интересно, второго я не видел (кажется).
Радиальное упорядочение, как вы его определили, явно является более общей вещью, $P_0$ часть включает в себя нормальный порядок как инструмент. Итак, эквивалентность, о которой вы спрашиваете, подобна эквивалентности между Соединенными Штатами и Нью-Джерси. Часть нормального порядка в Нью-Джерси эквивалентна, а остальная часть — нет. В общем случае радиальное упорядочение конформно эквивалентно временному упорядочению, но временное упорядочение и нормальное упорядочение — довольно разные вещи, хотя и имеют некоторые математические аналогии.
Если ОРЕ двух полей содержит только один сингулярный член с постоянным коэффициентом, как в случае свободных полей, то вычитание значения вакуумного среднего (ваше первое определение) может служить правильной процедурой регуляризации. Если ОРЕ является более сложным, например произведением двух тензоров энергии-импульса, в качестве второго определения необходимо вычесть все сингулярные члены.

Кевин Де Нотарис · Answer 1

В квантовой теории поля для невзаимодействующих полей нормальный порядок можно определить, потребовав, чтобы произведение двух полей не имело сингулярной части. Поскольку для невзаимодействующих полей сингулярная часть есть не что иное, как значение вакуумного экспактации (и всего лишь 1 член), достаточно написать:

: ф^{2} : "=" ф^{2} - ⟨ ф ф ⟩

$:\phi^2:\,\,\,=\phi^2-\langle\phi\phi\rangle$

В CFT мы не можем просто так сделать. Возьмем тензор энергии-импульса. Известно, что это OPE:

Т (г) Т (ш) "=" \frac{с / 2}{(г - ш)^{4}} + \frac{2 Т (ш)}{(г - ш)^{2}} + \frac{\partial Т (ш)}{(г - ш)} + р е г ты л а р т е р м с

$T(z)T(w)=\frac{c/2}{(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{(z-w)}+regular\,terms$ если мы попытаемся вытащить

⟨ T (z) T (w) ⟩

$\langle T(z)T(w)\rangle$ , мы получаем:

Т (г) Т (ш) - ⟨ Т (г) Т (ш) ⟩ "=" \frac{2 Т (ш)}{(г - ш)^{2}} + \frac{\partial Т (ш)}{(г - ш)} + р е г ты л а р т е р м с

$T(z)T(w)-\langle T(z)T(w)\rangle=\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{(z-w)}+regular\,terms$ который по-прежнему в единственном числе.

Затем, вместо того, чтобы вычитать только VAV, извлекается каждый несингулярный член. Если у нас есть два оператора со следующим OPE:

А (г) Б (ш) "=" \sum_{н - \infty}^{Н} \frac{{А Б}_{н} (ш)}{(г - ш)^{н}}

$A(z)B(w)=\sum_{n-\infty}^N \frac{\{AB\}_n(w)}{(z-w)^n}$ с

N

$N$ положительные целые числа (что означает, что число сингулярных частей может быть конечным) и

{A B}_{n} (w)

$\{AB\}_n(w)$ результирующие поля разложения. Затем мы определяем нормальный упорядоченный продукт как:

(А Б) (ш) "=" {А Б}_{0} (ш)

$(AB)(w):=\{AB\}_0(w)$ Фактически, мы можем определить Сокращение как :

С (А (г) Б (ш)) "=" \sum_{н "=" 1}^{Н} \frac{{А Б}_{н} (ш)}{(г - ш)^{н}}

$C(A(z)B(w)):=\sum_{n=1}^{N}\frac{\{AB\}_n(w)}{(z-w)^n}$ И тогда обычный заказанный товар это всего лишь:

(А Б) (ш) "=" \underset{г \to ш}{лим} [А (г) Б (ш) - С (А (г) Б (ш))]

$(AB)(w)=\lim_{z\to w}[A(z)B(w)-C(A(z)B(w))]$ так как все условия

{A B}_{n} (z - w)^{n}

$\{AB\}_n(z-w)^n$ с

n > 0

$n>0$ стремится к нулю, как

z \to w

$z\to w$ .

В этом контексте мы можем дать интегральное представление этого нормального упорядоченного произведения как:

(А Б) (г) "=" \oint_{г} \frac{д ш}{2 π я} \frac{А (ш) Б (г)}{ш - г}

$(AB)(z)=\oint_z\frac{dw}{2\pi i}\frac{A(w)B(z)}{w-z}$ где контурный интеграл содержит точку

z

$z$ .

Только для квадрата нормальное упорядочение в свободном поле включает только один член. Например $:\phi^4:=\phi^4-6\langle\phi^2\rangle\phi^2+3\langle\phi^2\rangle^2$ . В общем случае выражение представляет собой многочлен Эрмита. Однако верно то, что ОРЕ, даже в свободном случае, определяет правильное нормальное упорядочение.
Да, я написал «произведение двух полей», и в следующем предложении подразумевается, что я имел в виду только два из них. Извините, если было непонятно.

Определения оператора нормального упорядочения в КТП и КТП

Бенджамин Горовиц

Дэвид З.

Любош Мотл

Тенген

Ответы (1)

Кевин Де Нотарис

Абдельмалек Абдесселам

Кевин Де Нотарис

Почему корреляционные функции определяются только как упорядоченные по времени?

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Нормальный порядок тождественного оператора

Свободный бозонный пропагатор и нормальный порядок

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Простое моделирование QFT - как это сделать

Вывод интеграла по путям соответствия оператора состояния в CFT

Почему OPE имеют конечный радиус схождения в КТП, но не обязательно в КТП?

Почему/как эта теорема Вика?

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга