Унитарное преобразование в квантовой механике

Учитывая гильбертово пространство$H$и два вектора$u,v\in H$есть унитарный$u\in B(H)$это карты$u$на$v$. Возьмите оператора ранга 1$\theta_{u,v}$определяется как

$$\theta_{u,v}(z) = \frac{(v,z)}{(v,v)}u,\qquad\forall z\in H$$ которое определяет частичную изометрию, которая может быть расширена до унитарной по всей $H$.

Проблема с пространством Фока заключается в том, что вы ограничиваетесь унитарным представлением группы симметрии, например группы Пуанкаре. Тогда никакое унитарное преобразование из этого представления не может изменить корпускулярный состав состояния, что дает разложение фоковского пространства на инвариантные подпространства. С другой стороны, если вы рассмотрите алгебру, порожденную оператором поля, вы наверняка сможете найти унитарии, способные создавать/уничтожать частицы, тем самым переплетаясь между разными подпространствами.

Однако не существует унитарного преобразования, соединяющего два разных фоковских состояния$|m\rangle$и$|n\rangle$.

Это не правда. Всегда существует унитарное преобразование, которое отображает между любыми двумя заданными нормализованными состояниями. Действительно, и их бесконечное множество. В вашем примере возьмите число состояний$|0\rangle,\,|1\rangle,\,|2\rangle,\,\cdots$в качестве базисных векторов для вашего квантового пространства состояний. Тогда матрица с элементами

$$U_{j\,k} = \delta_{j\,n} \delta_{k\,m} + \delta_{j\,m} \delta_{k\,n} + (1-\delta_{j\,n})(1-\delta_{j\,m})(1-\delta_{k\,n})(1-\delta_{k\,m})\delta_{j\,k}\tag{1}$$

отобразит любое состояние:

$$\alpha_0\,|0\rangle+\alpha_1\,|1\rangle+\cdots +\alpha_n\,|n\rangle + \cdots +\alpha_m\,|m\rangle + \cdots$$

к:

$$\alpha_0\,|0\rangle+\alpha_1\,|1\rangle+\cdots +\alpha_m\,|n\rangle + \cdots +\alpha_n\,|m\rangle + \cdots$$

т.е. меняет местами веса суперпозиции базовых состояний$|n\rangle$и$|m\rangle$и, в частности, карты$|n\rangle$к$|m\rangle$и наоборот.

Если у вас возникли проблемы с визуализацией моего уравнения (1), то оно простое: это единичная матрица помимо$1$на позиции$(m,\,m)$в удостоверении смещается на позицию$(m,\,n)$в матрице$U$; также$1$на позиции$(n,\,n)$в удостоверении смещается на позицию$(n,\,m)$.

---

Чтобы расширить частичную изометрию в ответе Phoenix87 , работайте концептуально следующим образом. Позволять$\hat{X}$быть вектором, который вы хотите сопоставить$Y$. Теперь рассчитайте

$$\hat{Y}_\perp=\frac{\frac{Y}{\|Y\|}-\frac{\langle X,\,Y\rangle}{\|Y\|\,\|X\|}\,X}{\|\frac{Y}{\|Y\|}-\frac{\langle X,\,Y\rangle}{\|Y\|\,\|X\|}\,X\|}$$

так что$\hat{X}$и$\hat{Y}_\perp$являются ортогональным базисом линейного подпространства, натянутого на$X$и$Y$. Теперь используйте процесс Грама Шмидта, чтобы найти ортонормированный базис.$\hat{X}_3,\,\hat{X}_4\,\,\cdots$для ортогонального дополнения этого промежутка (я имею в виду, что алгоритм работает, чтобы показать, что базис существует, а не буквально делает это вручную, что невозможно для гильбертова пространства бесконечной размерности!). На этой основе ваш оригинальный$Y$является$\langle Y,\,\hat{X}\rangle \hat{X} + \langle Y,\,\hat{Y}_\perp\rangle \hat{Y}_\perp =\stackrel{def}{=}y_x\,\hat{X}+y_y\,\hat{Y}_\perp$. Полная новая основа$\hat{X},\,\hat{Y}_\perp,\,\hat{X}_3,\,\hat{X}_4\,\,\cdots$

Теперь матрица для вашего отображения по отношению к этому новому базису — это единичная матрица, если не считать$2\times2$правая верхняя подматрица. Этот$2\times2$унитарная верхняя правая подматрица:

$$\left(\begin{array}{cc}y_x&-y_y^*\\y_y&y_x^*\end{array}\right)$$

а остальная часть вашего оператора такая же, как и для единичной матрицы. Теперь преобразуйте эту матрицу$M$вернуться к исходной основе путем$M\mapsto T\,M\,T^\dagger$где$T$представляет собой преобразование исходного базиса в базис, найденный в процессе Грама-Шмидта.