Подсчет степеней свободы при наличии ограничений

Количество физических степеней свободы (DOF) или динамических переменных - это просто количество обобщенных положений, эволюция которых задается вторым порядком дифференциального уравнения по времени. Используя обозначение OP, количество степеней свободы равно

$${1\over 2}(N-2M-S)$$ Например, в электродинамике фазовое пространство шестимерно. $\{A_i,F_{0i}\}_{i=1}^3$а закон Гаусса является ограничением первого класса. Таким образом $N=6,\, M=1, S=0$. Так что есть две степени свободы, соответствующие двум поляризациям электромагнитных волн или двум спиральным фотонам.

Можно принять альтернативную и эквивалентную точку зрения, согласно которой фазовое пространство состоит из$\{A_{\mu},F_{0\mu}\}_{\mu=0}^3$и кроме закона Гаусса есть ограничение первого класса$F_{00}\approx0$(символ$\approx$читается как «слабо нулевой» и означает ноль, когда ограничения проверены, вы можете написать$=$), который Пуассон коммутирует с законом Гаусса, и поэтому оба являются ограничениями первого класса. Затем$N=8,\, M=2, S=0$а количество ДОФ по-прежнему два, конечно.

В случае гравитационного поля подсчет степеней свободы аналогичен. Фазовое пространство состоит из$\{h_{ab},p_{ab}\}_{a=1,b=1}^{a=3,b=3}$, с$h_{ab}$компоненты пространственной метрики и$p_{ab}$их сопряженные импульсы. Четверка$(0,\mu)$Уравнения Эйнштейна — это не динамические уравнения, поскольку они не содержат временных производных второго порядка, а ограничения первого класса. Следовательно$N=12,\, M=4,\, S=0$так что количество степеней свободы равно двум, что соответствует двум поляризациям гравитационных волн.

Однако рассмотрим случай поля Прокка (векторного поля массы$m$). Теперь фазовое пространство состоит из$\{A_{\mu},F_{0\mu}\}_{\mu=0}^3$и есть два ограничения$\partial_i\, F_{0i}=m^2A_0$— Я рассматриваю теорию без каких-либо полей материи, кроме векторного поля, если бы добавить другие поля, то была бы плотность заряда$\rho$в правой части, что сводится к закону Гаусса, когда$m=0$и$F_{00}=0$как в электромагнитном случае. Однако теперь из-за массового члена два ограничения не коммутируют Пуассона, поэтому ограничения относятся ко второму классу. Следовательно$N=8,\, M=0, S=2$а количество степеней свободы равно трем, что соответствует трем спиральностям массивной векторной частицы.

С$M$Ограничения 1-го класса там должны быть наложены$M$условия крепления манометра.

Таким образом, размерность физического фазового пространства$^1$является$N-2M-S$.

Размерность физического конфигурационного пространства$^2$является$\frac{N-2M-S}{2}$.

Другими словами, есть$\frac{N-2M-S}{2}$физические степени свободы (степени свободы), ср. например, этот пост Phys.SE.

--

$^1$ Фазовое пространство — это пространство обобщенных положений и импульсов.

$^2$ Конфигурационное пространство состоит из обобщенных позиций.