Ограничения первого класса и второго класса

(1) У вас есть набор неприводимых ограничений,$\lbrace \phi_j\rbrace$, как первичные, так и вторичные. Этот набор ограничений определяет подмногообразие$M$в «полном» (неограниченном) фазовом пространстве.

(2) Функция на фазовом пространстве считается слабо нулевой , если она обращается в нуль при ограничении на подмногообразие со связями$M$. Функция называется строго нулевой , если ее производные по координатам в неограниченном фазовом пространстве слабо равны нулю. По определению ограничения слабо равны нулю,$\phi_j \approx 0$, но не обязательно сильно нулевой.

(3) Функция$F$определенная на полном фазовом пространстве, называется функцией первого рода, если ее скобки Пуассона со всеми ограничениями слабо равны нулю . Так$F$является первым классом, если

для всех ограничений$\phi_j$. Функция называется вторым классом, если она не первого класса, т. е. имеет одну или несколько неслабо исчезающих скобок Пуассона с ограничениями.

(3') Напомню: производные в скобке Пуассона вычисляются в полном фазовом пространстве, т. е. импульсы и координаты$(p,q)$рассматриваются как независимые, так что вы можете вычислить производные$\delta F/\delta q$и$\delta F / \delta p$. Затем, после этого дифференцирования, вы применяете уравнения связи, чтобы увидеть, не исчезает ли слабо нулевая скобка Пуассона.

(4) Тогда окончательно: ограничение является первым или вторым классом, если вся его скобка Пуассона с остальными ограничениями слабо обращается в нуль.

(5) С ограничениями второго класса не так уж сложно иметь дело (т. е. при квантовании системы). Ограничения первого класса образуют гораздо большее препятствие. Они являются генераторами калибровочных преобразований.

Я очень рекомендую книгу Хенно и Тейтельбойма.

Первый шаг — завершение всего списка ограничений (первичных, вторичных, троичных и т. д.) и проверка того, что ни одно вторичное ограничение не приводит к противоречию (т. е. к пустой поверхности ограничений).

Примечание. Эволюция ограничений во времени выполняется с помощью «полного» гамильтониана:

$H_T(p,q) = p\dot{q}-L+\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha} \phi^{(1)}_{\alpha}$

где$\phi^{(1)}_{\alpha}$являются основными ограничениями и$\lambda_{\alpha}$являются множителями Лагранжа.

Следующим шагом является вычисление матрицы скобки Пуассона всех ограничений:

$P_{\alpha\beta} = \{\phi_{\alpha}, \phi_{\beta}\}|_{\Sigma}$

(при всех ограничениях$\phi_1, ., ., ., \phi_n$).$\Sigma$является поверхностью ограничений.

Количество ограничений первого класса равно корангу матрицы$P$:$n-\mathrm{rank}(P)$.

В ответе ниже я не буду вдаваться в связь между лагранжевым и гамильтоновым формализмом для случая систем с ограничениями, а просто ограничусь значением ограничений (как я это понимаю) в гамильтоновом формализме: -

Предположим, вам дано фазовое пространство$P$с переменными$(q_1,..,q_n;p_1,..,p_n)$. Обычно имеют дело с «системами без ограничений». Это означает, что вам дан только гамильтониан$H$; и разрешены все решения уравнений движения. То есть нет ограничения по динамике.

Для системы со связями помимо гамильтониана$H$у вас также есть набор уравнений ограничений:

$\tag{1}\phi_k(q_1,..,q_n;p_1,..,p_n)=0,\quad k=1,...,m.$

вместе с условиями

$\{\phi_i,H\} =0\quad\mbox{on the surface of constraints for all $i=1,...,m$}\tag{2}$

Это означает, что теперь вы должны ограничиться динамикой на поверхности (т.е. подмногообразии) в фазовом пространстве, определяемом (1). Условия (2) гарантируют, что ограничения согласуются с динамикой, т.е. если вы начинаете с точки$(q_{i0},p_{i0})$на поверхности ограничения, то его временная эволюция тоже лежала бы на поверхности.

Теперь (насколько я понимаю) идея состоит в том, чтобы различать те ограничения, которые не создают особых проблем и могут быть устранены (называемые ограничениями второго класса), по сравнению с теми, с которыми несколько сложнее иметь дело (ограничения первого класса). . Процедура их определения следующая:

Найдите максимальное подмножество {$\phi_1,...,\phi_k$} набора {$\phi_1,...,\phi_n$} функций ограничений, таких что скобка Пуассона любой функции из {$\phi_1,...,\phi_k$} с функцией в {$\phi_1,...,\phi_n$} является линейной комбинацией (с коэффициентами произвольными функциями$p_i,q_i$) функций$\phi_1,...,\phi_n$. Ограничения, соответствующие {$\phi_1,...,\phi_k$} называются ограничениями первого класса, а соответствующие {$\phi_{k+1},...,\phi_n$} называются ограничениями второго класса.

Дирак показал, что поверхность ограничений, определяемая ограничениями второго класса {$\phi_{k+1},...,\phi_n$} является симплектическим подмногообразием$M$фазового пространства$P$. Это означает, что (за исключением размерности) локально$M$будет выглядеть так же, как фазовое пространство$P$(если правильно подобрать координаты) и поэтому динамику на ней можно изучать как в обычном фазовом пространстве без ограничений.

Таким образом, можно просто устранить ограничения второго класса, ограничившись$M$как новое фазовое пространство, а остальные функции {$\phi_1,...,\phi_k$} (ограниченный$M$) как новые ограничения.

Если ограничение обращается в нуль скобки Пуассона со всеми другими ограничениями, оно относится к первому классу, в противном случае — ко второму классу.