Парадокс Рассела и закон непротиворечия

Я собираюсь рассмотреть версию парадокса Рассела для парикмахера, но тот же аргумент будет работать и для версии для наборов. Парикмахерская версия звучит так:

Парикмахер стрижет только тех людей, которые не стригутся сами. ---(1)

Парадокс возникает, когда спрашивают, стрижет ли парикмахер себе волосы или нет. Дальнейшая упрощенная версия может быть записана как:

Для всех существующих людей парикмахер стрижет волосы человека тогда и только тогда, когда этот человек не стрижет волосы сам. ---(2)

Теперь, если мы обозначим парикмахера с B, человек с Xи Pстрижет волосы Qкак f(P,Q). Тогда (2) в основном можно записать как:

∀X, f(B,X)тогда и только тогда ¬f(X,X)---(3)

Итак, если мы предположим, что f(B,B)это будет означать, ¬f(B,B)и если мы предположим , что ¬f(B,B)это будет означать f(B,B), что порождает парадокс. Обратите внимание, что нам нужно принять либо f(B,B)или ¬f(B,B), иначе это нарушит закон исключенного третьего. Теперь обратите внимание, что (3) представляет собой набор всех следующих утверждений:

f(B,X1)если¬f(X1,X1)

f(B,X2)если¬f(X2,X2)

...

f(B,B)если бы ¬f(B,B)--- (4)

...

f(B,Xn)если¬f(Xn,Xn)

Утверждение (4) в основе своей является нарушением Закона непротиворечия (не совсем, но доказать можно). Точно так же можно начать с логически неверного утверждения и прийти к парадоксу Рассела:

f(B,B)если бы ¬f(B,B)--- (5)

Теперь предположим, что все, Xкроме Bудовлетворения:

∀X≠B, f(B,X)тогда и только тогда ¬f(X,X)---(6)

Обратите внимание, что (6) логически верно. Итак, мы комбинируем логически неверное предложение (5) с логически правильным предложением (6), чтобы получить (3), которое, очевидно, также будет логически неверным.

Таким образом, вопрос в том, эквивалентен ли парадокс Рассела утверждению:

Aесли бы ¬A--- (7)

так что же в нем такого замечательного? Каково значение парадокса Рассела в философском смысле?

Если вы сформулируете исходное утверждение как (7), то предположение Aприведет к , ¬Aа предположение ¬Aприведет к A. По сути, не похоже, что Парадокс Рассела начинается с чего-то действительного и логически завершается чем-то неверным, скорее кажется, что он начинается с чего-то изначально логически недействительного, а именно с нарушения основ логики.

Предлагается множество способов избежать парадокса Рассела, накладывая несколько видов ограничений; но, следуя моему аргументу выше, нам нужно только запретить любое утверждение, которое по своей сути содержит (7), таким образом можно избежать парадокса Рассела в теории множеств. Или я что-то недопонимаю и дело тут более тонкое?

Кроме того, я буду очень признателен, если кто-нибудь скажет мне, проводилось ли подобное обсуждение где-либо еще в литературе, чтобы я мог прочитать об этом больше.

ПРИМЕЧАНИЕ 1 : Если вы думаете о функции f(P,Q)как о Pсодержании , Qто вы получите версию набора парадокса Рассела. На самом деле f(P,Q)может быть любая функция, например, если мы выберем ее как «любовь», а В как Бесс, тогда парадокс Рассела станет чем-то вроде «Бесс любит кого-то, только если она не любит себя, любит ли Бесс себя?»

ПРИМЕЧАНИЕ 2 : Немного изменив (3), давайте создадим наш собственный так называемый парадокс следующим образом:

∀X, f(B,X)если бы ¬f(X,B)--- (8)

На языке парикмахеров: «Парикмахер стрижет волосы только тех людей, которые не стригут волосы парикмахера, стригет ли парикмахер свои собственные волосы?» А на языке множеств: «Набор P содержит только те множества, которые не содержат P, содержит ли P P?» Итак, опять же, вопрос в том, что такого особенного в парадоксе Рассела и в этом тоже, если они в основном эквивалентны (7)?

ПРИМЕЧАНИЕ 3. Статья SEP изначально указывает на проблемы с аксиомой неограниченного понимания и порочным кругом, но в моем объяснении выше я вижу проблемы с парадоксом Рассела в его утверждении и самих предположениях. Позже это обсуждается в Contemporary Logic, но ничто из этого не похоже на мой аргумент, если только я что-то не упустил.

ПРИМЕЧАНИЕ 4. Чтобы провести аналогию с вопросом: предположим, что у нас есть закон:

1+1=2 ---(9)

то мы делаем следующее предложение:

Два и два яблока - это шесть яблок --- (10)

Теперь (10) сводится к 2+2=6, деление на 2 дает 1+1=3, что прямо нарушает мой закон (9). Теперь, что такого замечательного в (10), нужно ли нам ограничивать наше понимание, чтобы избежать утверждений, подобных (10)? Точно так же у нас есть некоторые предполагаемые законы логики, если парадокс Рассела содержит утверждение (4), которое прямо нарушает основные законы логики, то что в нем такого замечательного? Это не сильно отличается от утверждений типа (10).

ПРИМЕЧАНИЕ 5. Поскольку многие люди не удовлетворены версией парикмахера, о которой я упоминал выше, здесь я добавляю версию своего аргумента в виде наборов. Парадокс Рассела описывает набор:

р = {х | х ∉ х} --- (11)

это можно записать как:

∀ x, x ∈ R ⟺ x ∉ x --- (12)

эквивалентно:

∀ x, x ∈ R ⟺ ¬(x ∈ x) --- (13)

это набор следующих предложений:

x1 ∈ R ⟺ ¬(x1 ∈ x1)

x2 ∈ R ⟺ ¬(x2 ∈ x2)

...

R ∈ R ⟺ ¬(R ∈ R) --- (14)

...

xn ∈ R ⟺ ¬(xn ∈ xn)

Утверждение (14) такое же, как то, что я имел в виду выше в (4). Остальная часть вопроса следует, как и раньше.

Парадокс парикмахера — это не парадокс Рассела и не его версия.
@ user4894, так говорят в разных местах, таких как Scientific American . Первая строка страницы Википедии о Barber Paradox дает ссылку. Во всем моем аргументе вы можете указать f(P,Q)как Pсодержит Q, и вы получите обычную версию наборов парадокса Рассела.
Он имеет фамильное сходство с парадоксом Рассела...
Для хорошего обсуждения см . Парадокс Рассела .
И да: Парадокс предполагает непротиворечивость и бивалентность: «Поскольку по классической логике должен выполняться тот или иной случай — либо R является членом самого себя, либо нет — отсюда следует, что теория подразумевает противоречие».
Как уже говорилось, утверждение 1 не содержит парадокса. Там просто сказано, что цирюльник не стрижет себе волосы. Парадокс возникает только в том случае, если мы говорим, что парикмахер сам стрижет свои волосы, и в этом случае утверждение просто ложно. Возможно, я что-то упускаю, но я чувствую, что этот парадокс не так важен, как парадокс R.
@PeterJ, парикмахер стрижет только тех, кто не стрижет волосы сам, поэтому, если он не стрижет волосы сам, то он должен стричь волосы сам (из первоначального предположения), таким образом, это парадокс.
Ваше последнее редактирование верно: неограниченная версия аксиомы понимания была очень «естественной» и бесспорной: для каждого свойства P существует набор вещей, обладающих свойством P: { x ∣ P(x) } . Но Рассел нашел очень простое «свойство», применение к которому указанной аксиомы приводит к противоречию. Таким образом, естественный и бесспорный принцип был несостоятелен: конец истории.
@ udy11 - В описанном сценарии не говорится, что парикмахер бреется сам. Он может отрастить бороду. В этом нет парадокса, если мы не утверждаем, что парикмахер бреется сам.
@PeterJ слово «люди» в (1) означает всех, включая парикмахера.
@ Мауро, я понял твою точку зрения. Теперь позвольте привести аналогию моего вопроса. Если мой закон гласит «1 + 1 = 2», а затем я делаю утверждение «Два и два яблока — это шесть яблок», это можно записать как «2 + 2 = 6», разделить на 2 и получить противоречие с предположением. закон. Тогда что такого замечательного в этом утверждении, так это то, что оно было прямым нарушением моего предполагаемого закона. Точно так же мои предполагаемые законы являются законами логики, что же такого замечательного в парадоксе Рассела, если само его утверждение содержит утверждение, которое прямо нарушает мои предполагаемые законы? (Я добавил эту аналогию в исходный пост)
@udy11 - Да, я понял. Но для меня нет никакого парадокса, просто фраза, которая противоречит сама себе. Парикмахер бреется сам, а парикмахер не бреется. Дождь идет и дождя нет. Я никак не могу понять, почему эти предложения кажутся парадоксальными, а не просто оксюмороническими и, следовательно, ложными. .
@PeterJ, да, похоже, я тоже задаю здесь тот же вопрос

Ответы (4)

Не уверен в вопросе ... но мы можем доказать "одной только логикой", что:

¬(∃y)[(∀x)(A(x,y) ↔ ¬A(x,x))] .

Доказательство:

1) (∃y)[(∀x)(A(x,y) ↔ ¬A(x,x))] --- предполагается

2) (∀x)(A(x,c) ↔ ¬A(x,x)) --- где c — новая константа

3) A(c,c) ↔ ¬A(c,c) --- универсальной конкретизацией.

Формула A(c, c) ↔ ¬A(c, c) является или влечет за собой противоречие, поскольку, очевидно, A(c, c) ↔ A(c, c) , и, таким образом, мы заключаем с отрицанием предположения .

Таким образом, если ваш вопрос касается «паттерна», общего как для парадокса Барбера, так и для антиномии Рассела, ответ — ДА. См . диагональный аргумент Кантора .

Общий «шаблон» показывает, что некое экзистенциальное допущение несостоятельно в силу того, что оно ведет к противоречию.

Таким образом, для версии Барбера вывод таков: человека Б не существует.

Точно так же и для версии множества: множество R не существует.

Но заметьте, что два приведенных выше вывода вовсе не «парадоксальны»; они являются прекрасными надежными примерами доказательств от противного. Они опровергают первоначальную гипотезу: существование парикмахера B (из множества R ), что приводит к противоречию.

Где разница? В роли Аксиомы Понимания , и она большая.

В случае с парикмахером мы остаемся довольными доказательством того, что предполагаемый парикмахер не существует: этот вывод сам по себе не имеет математического или философского значения.

Что касается исходной теории множеств, вместо этого имеет значение влияние.

Неограниченная версия аксиомы понимания была очень естественной и бесспорной: для каждого свойства P существует набор вещей, обладающих этим свойством: { x ∣ P(x) } .

Использование аксиомы в определении множества Рассела R показывает, что естественный и бесспорный принцип несостоятелен: конец истории.

спасибо за ссылку на статью SEP. я также расширил свой исходный пост, чтобы уточнить запрос и включить больше примеров. Я также в основном говорю тот же аргумент, который вы привели здесь, и поэтому возникает вопрос: если парадокс Рассела эквивалентен Aтогда и только ¬Aтогда, что в нем такого особенного?
@udy11 Любой парадокс эквивалентен A <-> ~A; это как раз то, что значит быть парадоксальным. Вопрос в том, что не так с этой концепцией , что она парадоксальна?
@Canyon да, парадокс - это когда вы логически делаете вывод о чем-то недействительном из логически обоснованных предположений, но Парадокс Рассела, кажется, в первую очередь констатирует недопустимое утверждение (или, таким образом, вы можете доказать в 2 строки, как я сделал в исходном посте), так что же это такое особенным, если вы утверждаете что-то нелогичное и выводите из этого нелогичное и называете это парадоксом? кроме того, если это не так важно, то почему было предпринято так много попыток исправить теорию множеств, можно было бы просто запретить все операторы, которые содержат или сводятся к A <-> ~A?
* извините, если это звучит неправильно, но я знаю, что многого не знаю или где-то ошибаюсь, поэтому просто задаю вопросы. пожалуйста, не обращайте внимания на мой плохой выбор слов
@ udy11 - Проблемы с теорией множеств (мне кажется) возникают не из парадокса парикмахера, а из проблем самореференции, возникающих из-за множества всех множеств. Это больше похоже на парадокс, чем пример с парикмахером (или лжецом). Мне кажется, что ситуация с парикмахером не эквивалентна парадоксу Рассела. Но это не несвязано, так что вы можете быть правы. Парадокса не будет, если мы отвергнем множество всех множеств как невозможный объект (это мой предпочтительный подход). Если мы говорим, что это возможный объект, то метафизика сталкивается с конечными проблемами.
@PeterJ Я хочу сказать, что если вы рассматриваете основные законы логики, то это автоматически устраняет парадокс Рассела, потому что, как я показал, утверждение Парадокса Рассела содержит (4), что является нарушением базовой логики. Исключение наборов всех наборов или самореферентных определений также устранит многие допустимые наборы, такие как{x | x∈x}
К сожалению, я не могу следовать обозначениям. У меня также есть проблема с использованием парикмахера для замены парадокса R, поскольку я вижу проблему набора всех наборов как совсем другую. Если оставить в стороне детали, я соглашусь, что эти парадоксы скорее кажущиеся, чем реальные, хотя и говорят нам о чем-то важном. . .
@PeterJ, вы можете сказать мне конкретно, какие обозначения вызывают у вас проблемы, и я могу объяснить аргумент более подробно. Я также добавил примечание 5 в основной пост, которое иллюстрирует мой первоначальный вопрос в форме исходных наборов парадокса Рассела.
Все, что не на английском языке, является проблемой, но не волнуйтесь. Кажется, мы примерно согласны по рассматриваемому вопросу. Одним из важных вопросов является правильное применение правил Аристиотеля. Противоречие должно быть образовано из А и не-А, где нет третьего варианта, и поэтому, прежде чем мы сможем решить, что имеем дело с противоречием, мы должны знать, что одно из А/не-А истинно, а другое ложно и что третьего варианта нет. если мы этого не знаем, то мы не знаем, что есть противоречие. Правила регулярно неправильно применяются даже ведущими философами. . .

Сегодня парадокс Рассела — это просто доказательство того, что в ZFC класс R = {x ∣ x ∉ x}— это не множество. Можно избежать парадокса, потому что вы не можете осмысленно писать f(R,R).

Но во времена Рассела люди использовали аксиому неограниченного понимания, и вместе с тогдашней методологией это подразумевает, что Rна самом деле это набор и, следовательно f(R,R), имеет смысл. Но поскольку даже способность писать f(R,R)приводит к противоречию, это означает, что с теорией множеств того времени что-то серьезно не так.

Возможно, стоит отметить, что парадокс Рассела имеет прямой аналог и в наивной формальной логике. Если предикаты могут принимать произвольные предикаты в качестве аргументов, то если Xпредикат является унарным, имеет смысл передать его самому себе. Мы можем определить предикат Pс помощью

P(X) := ¬X(X)

а затем получить противоречие, созерцая P(P).

Точно так же, как теория множеств перешла к принятому ограниченному пониманию, формальная логика также должна была адаптироваться, чтобы она больше не предполагала, что вы можете определить такое P.

Например, типичный подход заключается в разделении логики на логику первого порядка, которая может рассуждать об объектах, логику второго порядка, которая может рассуждать о предикатах первого порядка, и так далее. Таким образом, никогда не имеет смысла писать X(X), так как аргумент любого унарного предиката Xдолжен иметь более низкий порядок, чем Xон сам.

с этим согласен. я расширил свой исходный пост, чтобы прояснить свою точку зрения, поэтому вопрос несколько отличается
@udy11: я не думаю, что ты что-то изменил. Кажется, вы все еще упускаете из виду тот факт, что парадокс Рассела заключался в том, что «формализация теории множеств говорит, что это множество существует. Но это существующее множество приводит к противоречию». В любом случае, я добавил к своему ответу аналог парадокса Рассела в формальной логике.
«Это» множество существует, это нарушение основных законов логики, а именно Aтогда и только тогда ¬A, когда вы хотите сказать, что нам нужно было избежать этого противоречия, которое мы приняли в ограниченном понимании. мой вопрос: почему бы просто не сказать, что все, что нарушает базовую логику, не разрешено?

«По сути, не похоже, что Парадокс Рассела начинается с чего-то действительного и логически завершается чем-то неверным, скорее кажется, что он начинается с чего-то логически недействительного в первую очередь, а именно с нарушения основ логики».

Дело не только в том, что «кажется», но и в том, что парадокс Рассела изначально начинается с чего-то логически несостоятельного, а именно с логически непоследовательной вселенной, как видно из (3). Альтернативный способ понять это — отметить, что парадокс Рассела явно несовместим с аксиомами логически непротиворечивой вселенной.

Логически непротиворечивая вселенная «один аккуратный и уважительный парикмахер» основана на этих двух аксиомах:

  • Парикмахер сам стрижет волосы.

    1. Для x = B, f(B,x).

  • Парикмахер стрижет волосы любого другого человека тогда и только тогда, когда этот человек не стрижет свои волосы сам.

    1. Для всех x ¬= B, f(B,x) XOR f(x,x).

Поскольку любая логическая переменная может быть выражена либо как И, либо как ИЛИ с самой собой, и поскольку в аксиоме 1 f(B,x) = f(x,x), она может быть выражена либо как:

1.а. Для x = B, f (B, x) И f (x, x).

1.б. Для x = B, f(B,x) ИЛИ f(x,x).

Из аксиом 1.a и 2 или 1.b и 2 ясно, что в логически непротиворечивой вселенной с одним аккуратным и уважительным парикмахером нельзя сформулировать ни одного действительного утверждения для всех x. Так что парадокс Рассела не может произойти.

В примере «Бесс любит кого-то, только если она не любит себя» логически непротиворечивая вселенная Бесс, любящая себя и не любящая себя, основана на этих двух аксиомах:

  • Бесс любит себя.

  • Бесс любит любого другого человека тогда и только тогда, когда этот человек не любит себя.

я могу легко изменить заявление. моей главной задачей было донести идею. на мой вопрос вы можете вместо этого рассмотреть версию наборов или версию Bess-love, которую я упомянул в ПРИМЕЧАНИЕ 1.

Вы лучше всего формулируете свою проблему в комментариях:

Почему бы просто не сказать, что все, что нарушает базовую логику, не разрешено?

Действительно, существует правило, говорящее, что если набор утверждений порождает противоречие, то соединение этих утверждений ложно. Мы не допускаем ничего, что нарушает базовую логику.

Как же тогда у нас может быть парадокс Рассела? Проблема в том, что у нас нет понятия приоритета правил внутри конкретного формального языка . Итак, хотя наш принцип непротиворечия говорит нам, что

NC: P_1, ..., P_n |- _|_ => ~(P_1 & ... & P_n)

мы также имеем (в наивной теории множеств)

A_1, ..., A_n

такой, что

A_1, ..., A_n |- _|_

что явно плохо, как и

NC, A_1, ... A_n |- _|_

что еще хуже.

К сожалению, истина определяется внутри конкретного языка. Поэтому мы не можем сказать внутри самого языка, какой из них неверен: NCили какой-либо из A_1них A_n.

Вместо того, чтобы отбрасывать отдельные теоремы из-за их парадоксальности, мы отбрасываем наборы правил, которые порождают эти теоремы. Новый набор правил в случае теории множеств содержал аксиому ограниченного понимания, позволяющую избежать этой проблемы.

Парадокс Рассела и закон непротиворечия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v