Обоснование калибровки U(1)U(1)U(1) для электромагнетизма?

В конечном счете, физическая причина для этого заключается в том, что это работает. Есть довольно естественная линия рассуждений, которая приводит к этой процедуре - это не доказательство, потому что доказательства не существуют в физике, а наводящая на размышления мотивация. Я пройдусь по этим рассуждениям, разбивая повествование некоторыми пояснениями, которые могут оказаться полезными.

---

Если вы накладываете локальную симметрию под действием группы Ли$G$, то сразу приходим к необходимости связи, которую можно представить одноформенной$\mathbf A$которая принимает свои значения в алгебре Ли$\frak g$связано с$G$и ковариантная производная$D = \partial + A$.

Позволять$\Psi : \mathbb R^3\mapsto \mathbb C^n$быть$n$-компонентная волновая функция. Мы выбираем основу$\{\hat e_1,\hat e_2,\ldots,\hat e_n\}$для$\mathbb C^n$и выразить нашу волновую функцию в компонентной форме$\Psi = \psi^a \hat e_a$. Если мы допустим, что базис зависит от положения, то дифференцирование волновой функции дает

$$\partial_{\color{red}{\mu}} \Psi = (\partial_\color{red}{\mu} \psi^a)\hat e_a + \psi^a\partial_\color{red}{\mu}(\hat e_a)$$ где я использую красный греческий нижний индекс для обозначения пространственного индекса и латинские верхние/нижние индексы для обозначения$\mathbb C^n$индексы. Выражение$\partial_\color{red}{\mu}(\hat e_a)$будет неким элементом$\mathbb C^n$, поэтому мы можем выразить это в локальном базисе как$\partial_\color{red}{\mu}(\hat e_a) = {A_\color{red}{\mu}}^b_{\ \ a} \hat e_b$. Включение этого обратно и перемаркировка индексов дает $$\partial_\color{red}{\mu} \Psi = (\partial_\color{red}{\mu} \psi^a + {A_\color{red}{\mu}}^a_{\ \ b} \psi^b)\hat e_a$$ Это мотивирует определение$D_\color{red}{\mu} \equiv \partial_\color{red}{\mu} + A_\color{red}{\mu}$(где для каждого$\color{red}{\mu}$,$A_\color{red}{\mu}$интерпретируется как$n\times n$комплексная матрица), поэтому$\partial_\color{red}{\mu} \Psi = (D_\color{red}{\mu}\psi)^a \hat e_a$. При смене базы через некоторые$\Omega \in G$,$\psi^a \mapsto \Omega^a_{\ \ b} \psi^b$и$\hat e_a \mapsto (\Omega^{-1})^b_{\ \ a} \hat e_b$чтобы сохранить ценность$\Psi$сам. Примечание. С этого момента я буду отбрасывать пространственный индекс, потому что он просто сидит и приходит в себя. Вы всегда можете положить его обратно, если хотите.

Упражнение для читателя : Использование определения$\partial(\hat e_a) = A^b_{\ \ a}\hat e_b$, покажите, что при замене базиса$A \mapsto \Omega(A + \partial) \Omega^{-1}$. Далее, аргументируйте, что если$\Omega = e^\theta$для некоторых$\theta \in \frak{g}$, согласованность требует, чтобы$A \in \frak{g}$.

Спросим теперь, имеет ли эта связь какой-либо физический смысл. Если его можно равномерно установить равным нулю путем соответствующей смены калибровки, то мы можем выполнять все наши вычисления в этой калибровке; поскольку все калибровки физически эквивалентны, это означает, что$A$не может проявлять никаких физических эффектов. Установка соединения на ноль означает, что$\Omega(A + \partial)\Omega^{-1} = 0 \iff A = -(\partial \Omega^{-1})\Omega = \Omega^{-1} \partial \Omega$для некоторых$\Omega \in G$.

Упражнение для читателя : Покажите, что если$A_\mu = \Omega^{-1} \partial_\mu \Omega$, затем

$$(dA)_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = -[A_\mu,A_\nu]$$ Итак$\frak{g}$-значная(!) 2-форма$F$с компонентами$F_{\mu\nu} \equiv (dA)_{\mu\nu} + [A_\mu,A_\nu] = 0$. Кроме того, покажите, что при изменении калибровки$F \mapsto \Omega F \Omega^{-1}$.

То, что соединение может быть установлено равным нулю, подразумевает, что$F$(так называемая форма кривизны$A$) исчезает. Верно и обратное (по крайней мере, локально), но это значительно труднее показать.

Если$F$ не исчезает, то нам нужен какой-то способ определить, каким он должен быть. Один из способов сделать это — сделать скаляр (плотность) из$\mathbf F$и использовать его как плотность Лагранжа. Напомним, что$F$имеет два пространственных индекса, о которых необходимо позаботиться. вообще$^\dagger$, простейший скаляр, который можно составить из$\mathbf F$является$-\frac{1}{4}\operatorname{Tr}(F^2)$, где$F^2=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$и числовой коэффициент добавлен по обычным причинам.

Обратите внимание, что$g^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$исчезает одинаково, так что это нехорошо. Однако,$F^2 \equiv g^{\mu\alpha}g^{\nu \beta} F_{\mu \nu} F_{\alpha \beta}$не. Но надо быть осторожным - каждый$F_{\mu\nu}$является матрицей . Написано правильно со всеми соответствующими индексами,

$$F^2 = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\left( F^a_{\ \ b}\right)_{\mu\nu} \left( F^b_{\ \ c}\right)_{\alpha\beta} = (F^2)^a_{\ \ c}$$ Нам все еще нужно избавиться от этих индексов векторного пространства, поэтому мы можем просто проследить их, чтобы получить настоящий скаляр: $$\operatorname{Tr}(F^2) = (F^2)^a_{\ \ a} = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\left( F^a_{\ \ b}\right)_{\mu\nu} \left( F^b_{\ \ a}\right)_{\alpha\beta}$$

Требование, чтобы лагранжиан был калибровочно-инвариантным, исключает такие термины, как$A_\mu A^\mu$, что дало бы$A$поля массы; в результате все вспомогательные поля, полученные таким образом, безмассовы.

В конце концов, связь с материей в теории естественно возникает из-за наличия связи в ковариантной производной. Динамика возникает из-за использования простейшего калибровочно-инвариантного скаляра в качестве лагранжевой плотности.

Вопрос 1. Какова физическая причина, почему мы должны требовать$U(1)$-калибровочная симметрия волновой функции заряженного фермиона?

Нет особой причины, по которой мы должны это делать, кроме того, что если мы это сделаем , то электромагнетизм упадет к нам в руки. Если мы повторим процедуру с другими калибровочными группами, мы придем к разным теориям, некоторые из которых кажутся реализуемыми в реальности, а другие — нет.

Вопрос 2. После того, как мы наложим эту калибровочную симметрию на лагранжиан Дирака, каково физическое обоснование того, что мы должны позволить члену 1-формы связи быть в точности векторным потенциалом$A_\mu$, а не другие термины из электромагнетизма (скажем,$F_{\mu\nu}A^\nu$)?

Я думаю, что воображаем, что$U(1)$симметрия навязывается и впоследствии сочетается с электромагнетизмом, но это не совсем правильно.$U(1)$симметрия накладывается и затем становится электромагнетизмом. Дело не в том, что мы ищем 1-форму связи и решаем, что это должен быть векторный потенциал; дело в том, что если вы будете следовать приведенной выше процедуре, то 1-форма связи автоматически подчиняется уравнениям Максвелла и действует на заряженное вещество силой Лоренца.

Иными словами, можете называть это как угодно, но навязывание местного$U(1)$симметрия требует введения вспомогательного поля, которое ведет себя точно так же, как электромагнитный 4-потенциал, и оказывает точно такое же воздействие на материю. Если он ходит как утка и крякает как утка...

---

$^\dagger$Забавным исключением из этого правила является размерность базового пространства и размерность векторного пространства, на котором$G$действия одинаковы; тогда греческий и латинский индексы имеют точно такие же значения. Это верно, когда мы рассматриваем$d$-мерное пространство-время и его$d$-мерные касательные пространства, например.

В этом случае мы можем связать один латинский индекс с одним греческим индексом в выражении$(F^a_{\ \ b})_{\mu\nu}$, а затем свяжите результат с метрикой. Единственный нетривиальный способ сделать это

$$g^{\mu \nu} (F^a_{\ \ \mu})_{a \nu}$$

Этот член линейен по$F$а не квадратичный, и появляется в общей теории относительности; соединение является соединением Кристоффеля,$F$— тензор кривизны Римана, а полученный выше скаляр — скаляр Риччи.