Волновая функция как кет-вектор в гильбертовом пространстве

Question

Волновая функция как кет-вектор в гильбертовом пространстве

Пользователь3141

Я кое-чего не понимаю: я узнал, что квантовые волновые функции можно описать как «кет-вектор» в абстрактном векторном пространстве, называемом гильбертовым пространством. Например, волновая функция положения, используемая для выражения вероятности нахождения частицы в точке, может быть описана как вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Но у нас также есть волновая функция, используемая для описания спина («спинора»), и эта волновая функция существует в двумерном гильбертовом пространстве. Итак, мой вопрос: какова связь между этими двумя разными волновыми функциями? Я имею в виду, что оба они изображаются как представление состояния частицы, но это явно не одно и то же. Я также слышал, что волновая функция содержит все, что нужно знать о частице, но я такой:

Ответы (3)

Волновая функция как кет-вектор в гильбертовом пространстве

Томас Фрич · Answer 1

Я узнал, что квантовые волновые функции можно описать как «кет-вектор» в абстрактном векторном пространстве, называемом гильбертовым пространством. Например, волновая функция положения, используемая для выражения вероятности нахождения частицы в точке, может быть описана как вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

Кажется, вы говорите о волновой функции положения

\begin{matrix} (1) & ψ (\vec{р}) . \end{matrix}

$\psi(\vec{r}). \tag{1}$ Да, эта функция является членом

\infty

$\infty$ -мерное гильбертово пространство, потому что существует бесконечно много позиций

\vec{r}

$\vec{r}$ . Однако такая волновая функция может представлять только бесспиновую частицу, но не может описывать частицу со спином (например, электрон).

Но у нас также есть волновая функция, используемая для описания спина («спинора»), и эта волновая функция существует в двумерном гильбертовом пространстве.

Просто уточню: спинор - это "вектор", состоящий из 2-х комплексных чисел (без какой-либо зависимости от положения $\vec{r}$ ), нравиться

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} ψ_{+} \\ ψ_{-} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\begin{pmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{pmatrix}. \tag{2}$ Таким образом, этот спинор является членом двумерного гильбертова пространства. Этот двухкомпонентный спинор можно представить как флагшток с флагом.

_{(изображение из Введение в спиноры )}

При вращении спинора две его компоненты трансформируются вполне определенным образом. Для получения дополнительной информации см . Введение в спиноры (особенно страницы со 2 по 5) Эндрю Стина.

Итак, мой вопрос: какова связь между этими двумя разными волновыми функциями?

Фактическая волновая функция электрона (или любого другого спина $\frac{1}{2}$ частица в этом отношении) является тензорным произведением (1) и (2) выше.

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} ψ_{+} (\vec{р}) \\ ψ_{-} (\vec{р}) \end{matrix}) \end{matrix}

$\begin{pmatrix}\psi_+(\vec{r}) \\ \psi_-(\vec{r})\end{pmatrix} \tag{3}$ Таким образом, эта функция является членом

\infty \times 2

$\infty\times 2$ -мерное гильбертово пространство.

ψ_{+} (\vec{r})

$\psi_+(\vec{r})$ - амплитуда вероятности того, что частица находится в положении

\vec{r}

$\vec{r}$ и имеющий раскрутку. Так же

ψ_{-} (\vec{r})

$\psi_-(\vec{r})$ - амплитуда вероятности того, что частица находится в положении

\vec{r}

$\vec{r}$ и с вращением вниз.

Я имею в виду, что оба они изображаются как представление состояния частицы, но это явно не одно и то же. Я также слышал, что волновая функция содержит все, что нужно знать о частице, но я спрашиваю: «Какая волновая функция?»

Именно спинорная волновая функция, данная в (3), содержит все, что известно о частице.

Вау, это действительно потрясающе. Итак, полное состояние частицы — это кет-вектор в некотором гильбертовом пространстве, и этот вектор содержит информацию обо всем, что вы можете знать о частице, например, о спине, положении, импульсе, энергии и т. д.? Значит, в этом смысле волновая функция сообщает нам все, что нужно знать о частице?
Небольшой технический комментарий: я думаю, это должно быть тензорное произведение, а не декартово (которое называется прямой суммой при работе с векторными/гильбертовыми пространствами).
@coconut Спасибо, кажется, ты прав. Я исправил свой ответ.
Представление спинора просто как столбец комплексных чисел вводит в заблуждение. Следует сделать оговорку, что он содержит представление спиновой группы, которая является покрытием группы Лоренца.
кокос, да, мне тоже показалось странным, что он использовал декартово произведение, но я просто предположил, что это опечатка и что он имел в виду тензорное произведение, и, к счастью, я был прав :)
@JamalS Я намеренно упрощал здесь, чтобы не потеряться в теории представления, например $SU(2) \cong Spin(3) \to SO(3)$ .
Я согласен, но я просто подумал добавить оговорку, что это столбец чисел, которые преобразуются особым образом, а затем добавляют ссылку на соответствующую ссылку, просто чтобы даже читатели, которые не изучали теорию повторений, знали, что они не должны этого делать. не принимайте это полностью за чистую монету.
@JamalS Согласен. Я связал статью вводного уровня.

AccidentalTaylorРасширение · Answer 2

Итак, начнем без вращения. Вы можете извлечь волновую функцию из «кет-вектора», взяв внутренний продукт с $|x\rangle$ состояние. $|x\rangle$ ket представляет собой состояние с определенным положением, когда частица полностью локализована на $x$ . Это не физическое состояние (его нельзя нормализовать), но все же полезный инструмент. Затем волновая функция извлекается как

ψ (Икс) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩

$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ Это может показаться странным, если вы никогда не видели, чтобы это было написано таким образом, но многие вещи становятся более ясными.

| x ⟩

$|x\rangle$ состояния образуют ортонормированный базис:

⟨ Икс | у ⟩ "=" дельта (Икс - у) \int г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс | "=" 1

$\langle x|y\rangle=\delta(x-y)\\ \int dx|x\rangle\langle x|=\mathbb{1}$ и чтобы убедить вас в этом, вы можете вычислить внутренний продукт волновой функции:

\begin{aligned} ⟨ ψ | ψ ⟩ & "=" ⟨ ψ | (\int г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс |) | ψ ⟩ \\ "=" \int г Икс ⟨ ψ | Икс ⟩ ⟨ Икс | ψ ⟩ \\ "=" \int г Икс ψ^{*} (Икс) ψ (Икс) \end{aligned}

$\begin{align}\langle\psi|\psi\rangle&=\langle\psi|\left(\int dx|x\rangle\langle x|\right)|\psi\rangle\\ &=\int dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle\\ &=\int dx\ \psi^*(x)\psi(x) \end{align}$ Чтобы распространить это на спин, мы рассмотрим состояние

| x, α ⟩

$|x,\alpha\rangle$ . Это состояние с положением

x

$x$ и вращаться

α

$\alpha$ . Для частицы со спином 1/2

α

$\alpha$ может быть вверх и вниз:

α = {↑, ↓}

$\alpha=\{\uparrow,\downarrow\}$ . Для волновой функции это означает

ψ_{α} (Икс) "=" ⟨ Икс, α | ψ ⟩

$\psi_\alpha(x)=\langle x,\alpha|\psi\rangle$ Мы можем собрать

α

$\alpha$ компоненты в вектор-столбце. Для частицы со спином 1/2:

(\begin{matrix} ψ_{↑} (Икс) \\ ψ_{↓} (Икс) \end{matrix})

$\begin{pmatrix}\psi_\uparrow(x)\\ \psi_\downarrow(x)\end{pmatrix}$ Спиновые состояния также образуют ортонормированный базис. Таким образом, для завершения внутренний продукт становится

⟨ ψ | ψ ⟩ "=" \sum_{α} \int г Икс ψ_{α}^{*} (Икс) ψ_{α} (Икс)

$\langle\psi|\psi\rangle=\sum_\alpha\int dx\ \psi_\alpha^*(x)\psi_\alpha(x)$

Это было немного больше, чем вы просили, но я надеюсь, что так понятнее.

Да, большое спасибо за этот ответ, именно такие ответы (те, которые идут немного глубже) мне нравятся больше всего. Это было также очень ясно, и я думаю, что все понял.

Чарльз Фрэнсис · Answer 3

Да, терминология иногда немного неаккуратна. Гильбертово пространство на самом деле является произведением бесконечномерного гильбертова пространства, определенного на $\mathbb R^3$ и двумерное спинорное пространство (или в релятивистском qm четырехмерное пространство дираковских спиноров). Я рекомендую игнорировать терминологию и сосредоточиться на математической структуре. Волновая функция может быть ограничена любым пространством, и именно об этом говорят. Но когда вы говорите, что «волновая функция содержит все, что нужно знать о частице», это относится к полной волновой функции, а не к ее ограничению положением или спиновым пространством.

Волновая функция как кет-вектор в гильбертовом пространстве

Пользователь3141

Ответы (3)

Томас Фрич

Пользователь3141

Томас Фрич

кокос

Томас Фрич

ДжамалС

Пользователь3141

Томас Фрич

ДжамалС

Томас Фрич

AccidentalTaylorРасширение

Пользователь3141

Чарльз Фрэнсис

Пользователь3141

Вопрос о «пустом кете» и обозначениях Дирака.

В квантовой механике |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle равно ψ(x)ψ(x)\psi(x)?

Обозначение скобок строгим способом

Какова функциональная форма кет-вектора в позиционном базисе?

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Эквивалентность волновой функции и обозначения Диракета

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Гильбертово пространство в представлении Дирака