Какова функциональная форма кет-вектора в позиционном базисе?

Question

Какова функциональная форма кет-вектора в позиционном базисе?

Шоппе

$\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\langle#1}$

Это вопрос, который меня давно смущал, какова реальная функциональная форма кет-вектора, конкретно в базисе позиции? Я предполагаю, что ответ заключается в том, что кет-вектор слишком абстрактен, чтобы иметь функциональную форму, за исключением, возможно, определенных обстоятельств, но позвольте мне попытаться объяснить мою путаницу. В разделе 1.10 Шанкара он описывает функцию, расширяемую как серию кетов как таковых:

Обозначим через $f_n(x)$ дискретное приближение к $f(x)$ что согласуется с ним в $n$ точек и исчезает между ними. Давайте теперь интерпретируем порядок $n$ -кортеж { $f_n(x_1)$ , $f_n(x_2)$ ,..., $f_n(x_n)$ } как компоненты кет $\ket{f_n}$ в векторном пространстве $V^n(R)$ :
$| ф_{н} ⟩ \leftrightarrow [\begin{matrix} ф_{н} ({Икс}_{1}) \\ ф_{н} ({Икс}_{2}) \\ ⋮ \\ ф_{н} ({Икс}_{н}) \end{matrix}]$ $\ket{f_n}\leftrightarrow \begin{bmatrix} f_n(x_{1}) \\ f_n(x_{2}) \\ \vdots \\ f_n(x_{n}) \end{bmatrix}$ Базисные векторы в этом пространстве: $| {Икс}_{я} ⟩ \leftrightarrow [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]$ $\ket{x_i}\leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ соответствующей дискретной функции, равной единице при $x=x_i$ и ноль в другом месте. (...) Попробуйте представить пространство, содержащее $n$ взаимно перпендикулярные оси, по одной на каждую точку $x_i$ . Вдоль каждой оси проходит единичный вектор $\ket{x_i}$ . Функция $f_n(x)$ представляется вектором, проекция которого вдоль $I$ направление $f_n(x_i)$ : $| ф_{н} ⟩ "=" \sum_{я "=" 1}^{н} ф_{н} ({Икс}_{я}) | {Икс}_{я} ⟩$ $\ket{f_n}=\sum_{i=1}^n f_n(x_i)\ket{x_i}$

Это обсуждение, кажется, подразумевает, что кет $\ket{x}$ либо дельта Кронекера, либо более реалистично $\ket{x}=\int dx^\prime\delta(x-x^\prime)|x'\rangle$ . Причина, по которой я отношусь к этому скептически, заключается в том, что для определения всего пространства физического положения потребовалось бы неисчислимое бесконечное число дельт Дирака, поскольку Шанкар четко связывает каждую точку в пространстве с отдельным кетом.

Я тоже настроен скептически, учитывая, что $\int dx^\prime\delta(x-x^\prime)$ является функциональным и, следовательно, должен жить в дуальном пространстве, которое является пространством бюстгальтеров (хотя я понимаю, что между ними существует однозначное соответствие, хотя я не уверен, как увидеть это явно в этом случае). Я знаю, что это обсуждение часто включает в себя идею «оснащенного гильбертова пространства», например здесь , однако я не полностью слежу за обсуждением. Является ли обсуждение Шанкара здесь чисто поверхностным и не предназначено для представления лежащей в основе математики?

Чтобы еще больше запутаться, я могу представить себе волновую функцию, заданную на конечном интервале. Мы можем разложить эту функцию в терминах степенного ряда многочленов. В этом случае мы почти наверняка свяжем $\ket{x}$ с $\ket{x_n}=x^n$ поскольку функция будет правильно расширена как:

ф (Икс) "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} а_{н} {Икс}^{н} "=" \sum | Икс ⟩ ⟨ Икс | ф ⟩

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum \ket{x}\bra{x}\ket{f}$ в котором четко

a_{n} = ⟨ x | f ⟩

$a_n=\bra{x}\ket{f}$ и поэтому

| x ⟩ = x^{n}

$\ket{x}=x^n$ , так как полиномы теперь образуют базис (или, по крайней мере, линейная комбинация полиномов образует базисные состояния, т.е. полиномы Лагерра). Это отличается от предыдущей интерпретации кетов как дельт Дирака.

Любое обсуждение или ресурсы, на которые вы могли бы указать мне по этому поводу, были бы очень признательны!

ZeroTheHero

возможный дубликат physics.stackexchange.com/questions/364208/…

ZeroTheHero

Слабость здесь

| x_{n} ⟩ \to x^{n}

$\vert x_n\rangle\to x^n$ , что не имеет смысла в том, как базис собственных состояний

\hat{x}

$\hat x$ построен. Фактически,

f (x)

$f(x)$ интерпретируется как число (функция, вычисляемая при

x

$x$ ) не является вектором в гильбертовом пространстве. Вектор будет

| f ⟩

$\vert f\rangle$ , тогда как компонента вектора вдоль базисного состояния

| x ⟩

$\vert x\rangle$ является

⟨ x | f ⟩ = f (x) \in C

$\langle x\vert f\rangle=f(x)\in \mathbb{C}$ .

Шоппе

Спасибо, что поделились предыдущей ссылкой. Означает ли это тогда, что

| x ⟩

$|x\rangle$ просто действительная числовая линия? Или, по крайней мере, это правильный способ думать об этом?

ZeroTheHero

Не совсем. Аргумент

x

$x$ является конкретным значением на реальной линии, но

| x ⟩

$\vert x\rangle$ является вектором, так что

I = \int d x | x ⟩ ⟨ x |

$\mathbb{I}=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$ обобщает на непрерывный случай сумму

\sum_{k} | k ⟩ ⟨ k |

$\sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$ в дискретном случае.

Ответы (2)

Какова функциональная форма кет-вектора в позиционном базисе?

возможный дубликат physics.stackexchange.com/questions/364208/…
Слабость здесь $\vert x_n\rangle\to x^n$ , что не имеет смысла в том, как базис собственных состояний $\hat x$ построен. Фактически, $f(x)$ интерпретируется как число (функция, вычисляемая при $x$ ) не является вектором в гильбертовом пространстве. Вектор будет $\vert f\rangle$ , тогда как компонента вектора вдоль базисного состояния $\vert x\rangle$ является $\langle x\vert f\rangle=f(x)\in \mathbb{C}$ .
Спасибо, что поделились предыдущей ссылкой. Означает ли это тогда, что $|x\rangle$ просто действительная числовая линия? Или, по крайней мере, это правильный способ думать об этом?
Не совсем. Аргумент $x$ является конкретным значением на реальной линии, но $\vert x\rangle$ является вектором, так что $\mathbb{I}=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$ обобщает на непрерывный случай сумму $\sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$ в дискретном случае.

РастворимаяРыба · Answer 1

Гильбертово пространство для $1D$ частица без спина $\mathcal H = L^2(\mathbb R)$ . Для каждого $x\in \mathbb R$ , $|x\rangle$ не является элементом $\mathcal H$ , так что это не правильный кет (в элементарных курсах QM это часто упоминается как факт, что он не нормализуется).

Однако в формализме оснащенного гильбертова пространства мы можем понимать его как обобщенный кет и уравнения типа $\langle \psi|x\rangle = \psi^*(x)$ и $\mathbb I = \int \text d x |x\rangle\langle x|$ верны. (Обратите внимание, что есть один $|x\rangle$ для каждого $x\in\mathbb R$ .) Я думаю, что Шанкар пытается эвристически обосновать тот факт, что не следует сильно беспокоиться об этих тонкостях (по крайней мере, поначалу) и что вполне нормально использовать $|x\rangle$ как обычный кет.

Конечно, чтобы сделать это математически обоснованным, вам нужно оснащенное гильбертово пространство. $\Phi\subset \mathcal H \subset \Phi^\times$ , в таком случае для всех $x\in\mathbb R$ , можно определить непрерывный антилинейный функционал на $\Phi$ к :

\forall ψ е Φ, ⟨ ψ | Икс ⟩ "=" ψ^{*} (Икс) "=" \int г {Икс}^{'} ψ^{*} ({Икс}^{'}) дельта ({Икс}^{'} - Икс)

$\forall \psi \in\Phi, \langle \psi|x\rangle = \psi^*(x) = \int \text dx'\psi^*(x')\delta(x'-x)$

Теперь о вашей идее взять за основу многочлены. $\mathcal H =L^2([a,b])$ : это определенно возможно, но было бы очень запутанно писать эти кет $|x\rangle$ (под этим обычно понимают то, что я описал выше). Функции $\psi_n(x) = x^n$ действительно охватывают плотное подмножество, но они не ортонормированы, поэтому у вас нет отношения замыкания $\sum_n |\psi_n\rangle\langle \psi_n| = \mathbb I$ . Применяя процесс ортонормирования Грама-Шмидта , вы получите ортонормированный базис $\big\{|n\rangle\big\}$ полиномиальных волновых функций.

Спасибо! Это именно тот тип обсуждения и ответа, который я искал. Знаете ли вы какие-либо ресурсы, в которых это подробно обсуждается? Идея использования неперенормируемого «объекта», который даже не является частью гильбертова пространства, в качестве основы для гильбертова пространства всегда приводила меня в замешательство. Гриффитс упоминает об этом на мгновение, обсуждая собственные состояния импульса, но затем не дает никаких пояснений. Как традиционно решалась эта проблема, то есть до использования оснащенного гильбертова пространства?
Что касается ресурсов по оснащенным гильбертовым пространствам, вы можете начать с объяснений и ресурсов, приведенных в ответах здесь .

Космас Захос · Answer 2

Обсуждение Шанкара не

чисто поверхностно и не предназначено для представления лежащей в основе математики.

Он точно говорит вам, что кеты являются переносчиками; поэтому у вас никогда не должно быть уравнения с открытыми множествами с одной стороны и чистыми функциями (числами) с другой. В этом смысле несколько уравнений после вашей «скептической» точки зрения не имеют никакого смысла, но я не знаю, что вам нужно.

Следуя дискретной парадигме, вот несколько правильных уравнений, которые, возможно, помогут вам разобраться в вашей путанице:

| ф ⟩ "=" \int г Икс ф (Икс) | Икс ⟩ \equiv \int г Икс ⟨ Икс | ф ⟩ | Икс ⟩ ⇝ ф ({Икс}^{'}) "=" ⟨ {Икс}^{'} | ф ⟩ "=" \int г Икс ф (Икс) ⟨ {Икс}^{'} | Икс ⟩ "=" \int г Икс ф (Икс) дельта (Икс - {Икс}^{'}) .

Если вы хотите изобразить $|x\rangle$ , подумайте о бесконечномерном векторе, чьи элементы слияния (их интервалы/ступени сжались до континуума) соответствуют значению x . Так $|137.4848\rangle$ является вектором пустым везде, кроме места/шага 137,4848, где компонент бесконечен.

Суть, которую я пытался подчеркнуть, заключается в том, что вы можете сформировать базис, используя полиномы, так что функция $f(x)$ можно выразить как $f(x)=\sum a_n x^n$ где набор базисных векторов { $1,x,x^2,x^3,...$ }. Мы говорим, что $|x|rangle$ формирует основу для позиционного пространства, поэтому я пытался провести эквивалентность между этими двумя понятиями. Если $|x\langle$ соответствует дельта-функции Дирака, это все еще не проясняет, как, поскольку дельта Дирака является не функцией, а функционалом, она принадлежит двойственному пространству, а не векторному пространству.
Дельта-функция Дирака здесь работает как функция, а не как функционал. Это волновая функция положения ket, как подчеркивает Дирак в своей книге.

Какова функциональная форма кет-вектора в позиционном базисе?

Шоппе

ZeroTheHero

ZeroTheHero

Шоппе

ZeroTheHero

Ответы (2)

РастворимаяРыба

Шоппе

РастворимаяРыба

Космас Захос

Шоппе

Космас Захос

Вопрос о «пустом кете» и обозначениях Дирака.

В квантовой механике |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle равно ψ(x)ψ(x)\psi(x)?

Обозначение скобок строгим способом

Волновая функция как кет-вектор в гильбертовом пространстве

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Эквивалентность волновой функции и обозначения Диракета

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Гильбертово пространство в представлении Дирака