Вам не нужно . На самом деле, вы можете работать прямо в 2D и решать задачи явно, так как условие взаимного базиса, которое$b_i\cdot a_j = 2\pi\delta_{ij}$читается в матричной записи

$$\begin{pmatrix} b_{1x} & b_{1y} \\ b_{2x} & b_{2y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1x} & a_{2x} \\ a_{1y} & a_{2y} \end{pmatrix} = 2\pi \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,$$ поэтому все, что вам нужно сделать, это умножить на явную обратную матрицу справа, чтобы получить $$\begin{pmatrix} b_{1x} & b_{1y} \\ b_{2x} & b_{2y} \end{pmatrix} = \frac{2\pi}{a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x}} \begin{pmatrix} a_{2y} & -a_{2x} \\ -a_{1y} & a_{1x} \end{pmatrix} ,$$ или, транспонируя это для ясности, чтобы вы могли читать матричное уравнение столбец за столбцом, чтобы получить$b_i$, $$\begin{pmatrix} b_{1x} & b_{2x} \\ b_{1y} & b_{2y} \end{pmatrix} = \frac{2\pi}{a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x}} \begin{pmatrix} a_{2y} & -a_{1y} \\ -a_{2x} & a_{1x} \end{pmatrix} .$$ Затем вы можете проверить вручную, что это соответствует проекции на$x,y$плоскость результатов, которые вы получаете из 3D-формул, взяв третий вектор вдоль$z$.

---

Если, с другой стороны, вы хотите придерживаться трехмерного формализма (который затем позволяет вам использовать одни и те же формулы для обоих случаев), вам нужно дополнить базис плоскости третьим вектором, чтобы сделать отрезок равным трем. -размерный. Этот третий вектор должен иметь ненулевое$z$компонента (или она будет линейно зависеть от$a_1$и$a_2$), но вам нужны дополнительные ограничения, чтобы указать его однозначно.

Эти ограничения исходят из того, что

1. вы хотите$b_3\cdot a_1=b_3\cdot a_2=0$, так что вы хотите$b_3$вдоль$z$оси и, что более важно,
2. вы хотите$a_3\cdot b_1=a_3\cdot b_2=0$, где вы хотите$b_1$и$b_2$лежать в$xy$плоскости, потому что вся ваша физика двухмерна, а для этого требуется$a_3$лежать вдоль$z$ось.

Что касается точной величины$a_3$, не имеет значения ─ легко видеть, что изменение$a_3\mapsto \lambda a_3$любым$\lambda \neq 0$никак не влияет на 3D$b_1$и$b_2$выражения, которые вы цитируете.

Итак, чтобы понять, почему вы получаете то, что получаете, важно понимать, что решает обратная решетка.

Какую задачу решает обратная решетка?

Проблема в том, что у нас есть очень хорошая формула для скалярного произведения,

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = \sum_i u_i v_i.$$ Это вытекает непосредственно из того факта, что существуют базисные векторы$\hat e_i$для пространства такого, что$\mathbf u = \sum_i u_i~\hat e_i$и$\mathbf v = \sum_i v_i~\hat e_i,$в сочетании с тем фактом, что эти базисные векторы ортогональны,$\hat e_i \cdot \hat e_j = \delta_{ij}$где$\delta$является дельта-символом Кронекера.

Только из этих фактов плюс линейность скалярного произведения можно получить

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = \sum_i \sum_j u_i~v_j~(\hat e_i\cdot\hat e_j) = \sum_{ij} u_i ~v_j~ \delta_{ij} = \sum_i u_i v_i.$$ К сожалению, речь идет о кристалле, который имеет кристаллическую решетку. Или, аналогично, та же проблема с тензором момента инерции: у него есть главные оси, относительно которых существует простой момент инерции, но эти оси могут быть не ортогональны. Все свойства таких систем, как кристаллы, являются «хорошими» только в том случае, если их рассматривать в основе атомов кристалла, выраженной в виде этой основы векторов решетки.$\mathbf a_i.$И эти векторы решетки редко бывают ортогональными, поэтому вместо этого мы получаем некоторое выражение $$\mathbf u\cdot \mathbf v = \sum_{ij} u_i~v_j(\mathbf a_i \cdot \mathbf a_j) = \sum_{ij} g_{ij}~u_i~v_j,$$ что сложнее. На самом деле, единственная хорошая вещь, которую можно сказать об этом, это то, что из-за симметрии скалярного произведения, к счастью,$g_{ij} = g_{ji}.$Как сделать это проще?

Верхний и нижний индексы

Что ж, есть аналог приведенной выше формулы, но он требует большей точности с математикой. Я приведу здесь версию, которую мы называем «нотация абстрактного индекса». Объяснение этих обозначений является предметом следующего раздела, извините, если это требует слишком много внимания.

Определение нотации абстрактного индекса

Итак, у нас есть векторы в некотором векторном пространстве над некоторыми скалярами , например, ваше векторное пространство может быть реальными трехмерными векторами.$\mathbb R^3$и ваши скаляры тогда обычно просто действительные числа$\mathbb R$. Ковектор (иногда также называемый ун-формой ) представляет собой линейное отображение векторов в скаляры. Теперь, когда у вас есть эти скалярные произведения (мы бы сказали, что вы находитесь в метрическом пространстве ), вы знаете кучу ковекторов:$(\mathbf v\cdot)$, функция, которая берет какой-то другой вектор и ставит точки над фиксированным вектором$\mathbf v$, является ковектором для любого$\mathbf v$. Мы предполагаем, что они существуют во взаимно однозначном соответствии, так что для каждого ковектора тоже есть вектор. Итак, у нас есть набор скаляров$\mathcal S$, набор векторов$\mathcal V$, набор ковекторов$\overline{\mathcal V}$, и наш скалярный продукт$g : \mathcal V \to \mathcal V \to \mathcal S$можно понимать как каноническую линейную карту$g: \mathcal V \to \overline{\mathcal V}$который обратим с обратным$g^{-1}: \overline{\mathcal V} \to \mathcal V.$

Мы определяем, что$[m, n]$-тензор — это мультилинейная карта из$m$ковекторы и$n$векторы в скаляр. Поскольку векторы отображают ковекторы в скаляры (применяя функцию к самим себе), они$[1, 0]$-тензоры. Поскольку ковекторы отображают векторы в скаляры, они$[0, 1]$-тензоры. Два тензора всегда могут быть составлены внешним произведением , где я беру$[a,b]$-тензор и$[c,d]-tensor$и сформировать$[a+c,b+d]$-тензор, следующим образом: я беру первый$a$ковекторы и$b$векторы и скармливаем их первому тензору, чтобы получить скаляр; я беру оставшиеся$c$ковекторы и$d$векторы и скармливаем их второму тензору, чтобы получить скаляр; затем я умножаю два скаляра вместе. Функция скалярного произведения$g$и обратное$g^{-1}$позволяют нам конвертировать канонически между всеми$[m,n]$-тензоры для постоянных$m+n$, так что вы можете просто подумать о$2$-тензоры, которые можно наблюдать как$[2,0]$- или$[1,1]$- или$[0, 2]$-тензоры в зависимости от того, как вы адаптируете их входы.

Математики, изучающие эти вещи, делают еще одно аксиоматическое предположение:$[m, n]$-тензор можно разложить по этим внешним произведениям. Любой$[m, n]$тензор представляет собой сумму множества внешних произведений$m$векторы и$n$ковекторы. Это означает, что есть способы заключить контракт с любым$[m, n]$-тензор к$[m-1, n-1]$-тензор: разложите его на внешние произведения, а затем примените ковектор, который обрабатывает этот вход, к вектору, который обрабатывает другой вход. Поэтому нам нужна нотация, которая сделает все это легко видимым и понятным.

Эта нотация работает следующим образом: создайте копии пространства$[m, n]$-тензоры с$m$отдельные греческие буквы для верхних индексов,$n$отдельные греческие буквы для нижних индексов. Так$\mathcal T^{\alpha\beta}_{\gamma}$является копией пространства$[2, 1]$-тензоры. Буквы не являются переменными, они не заменяют числа, которые будут заменены позже; это просто символы, помогающие нам различать разные вещи. А затем мы пишем тензор с символами, которые определяют, к какому пространству он принадлежит. И когда мы хотим сжать тензор, мы повторяем индекс сверху и снизу. Мы также можем определить некоторые другие вещи, такие как изоморфизм перемаркировки$\delta^{\alpha}_\beta,$и наш$g$который принимает два вектора и производит скаляр, теперь$g_{\alpha\beta}$в$\mathcal T_{\alpha\beta},$и его обратное можно сформулировать как существование$g^{\alpha\beta}$такой, что

$$g^{\alpha\beta}g_{\beta\gamma} = \delta^\alpha_\gamma.$$

Таким образом, фактический вектор теперь записывается$v^\alpha$и его ковектор$v_\alpha = g_{\alpha\beta} v^\beta.$И теперь внутренний продукт очень красиво представлен как

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = u_\alpha ~v^\alpha.$$

Это обман?

В каком-то смысле это читерство: в основном просто сказали «вот что красиво выглядит, давайте напишем$(\mathbf u \cdot)$как$u_\alpha$и$\mathbf v$как$v^\alpha$и теперь мы можем написать что-то вроде$\sum_i u_i~v_i.$Давайте изобретем это, чтобы это выглядело красиво». Но на самом деле здесь происходит нечто более глубокое, и этим более глубоким является как раз эта обратная решетка.

Итак, мы хотим выделить определенные векторы$e^\mu_k$для$k=1,2,\dots D$в качестве наших «базовых векторов» сейчас. Для этого нам понадобятся ковекторы,

$$e_{\mu}^\ell~e^\mu_k = \delta^\ell_k=\{1\text{ if } k=\ell \text{ else } 0\}.$$ Тогда любой вектор$v^\mu$может быть восстановлена ​​из его компонентов верхнего индекса , $$\text{define } v^k = e^k_\mu ~v^\mu, ~~\text{ then }~v^\mu = \sum_{k=1}^D v^k ~e_k^\mu.$$ Но здесь есть симметрия между тем, что это такое, и ясно, что должны быть и некоторые компоненты с более низким индексом, $$\text{define } v_k = e^\mu_k~ v_\mu, ~~\text { then }~ v_\mu = \sum_{k=1}^D v_k~e^k_\mu,$$

и с точки зрения этих компонентов скалярный продукт также становится чистым,

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = \sum_{k=1}^D u_k~v^k.$$ Теперь эти$u_k$и$v^k$термины не обманывают, изобретая обозначения; они являются реальными фактическими списками чисел. $v^k$являются компонентами вектора в$\mathbf e_k$основа. Но какие$u_k$? Другими словами, что на самом деле означают эти «двойные компоненты» вектора ? Это основание не должно быть$\mathbf e_k$основу, которую мы имели ранее, иначе мы смогли бы доказать первоначальную форму закона скалярного произведения из$v^n = v_n,$так что это должна быть какая-то другая векторная основа для пространства. По сути, это базис обратной решетки. Итак, мы берем наши ковекторы и превращаем их обратно в векторы,

$$\text{define } \bar e^{k\alpha} = g^{\alpha\beta}~e^k_\beta, \text{ so that } v^\alpha = \sum_{k=1}^D v_k~\bar e^{k\alpha},$$

и эти$\bar e^{k\alpha}$векторы - наша основа обратной решетки.

Геометрически это означает, что вектор обратной решетки, двойственный к$\mathbf e_1$строится по следующей процедуре:

1. Найдите (гипер)плоскость, натянутую$\mathbf e_{2,3,\dots D}$. Определить вектор$\mathbf q$перпендикулярно этой плоскости и, следовательно, перпендикулярно всем другим векторам.
2. Выяснить, что$\mathbf q \cdot \mathbf a_1$есть, а затем масштабировать$\mathbf q$обратной величиной этого числа к новому вектору$\bar{\mathbf e}^1$, так что$\bar{\mathbf e}^1 \cdot \mathbf e_1 = 1.$
3. (Необязательно) для согласованности с несколькими твердотельными учебниками умножьте на$2\pi.$

Таким образом, обратная решетка описывает нормальные векторы$\mathbf b_i$плоскостям, содержащим все векторы, кроме$\mathbf a_i$которым они соответствуют.

Ориентации и переход в пространство более низкого измерения

Теперь один отличный способ найти это — посмотреть на тензор ориентации; в$n$размеры у них$n$индексы, поэтому тензор трехмерной ориентации выглядит как$\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$. Идея состоит в том, что это полностью антисимметричный тензор такой, что в ортонормированном базисе компоненты работают так, что$\epsilon_{123} = 1$и поэтому любая другая перестановка индексов либо$+1$если это четная перестановка$123$или$-1$если это нечетная перестановка, или$0$если это не перестановка.

Как вы уже догадались, в 3D$\epsilon_{\alpha\beta\gamma} u^\beta v^\gamma$в каком-то смысле векторное произведение двух векторов, за исключением того, что это ковектор, живущий в$\mathcal T_\alpha$не вектор, живущий в$\mathcal T^\alpha.$Но у нас есть биекция$g$между этими двумя пространствами, поэтому мы можем сказать

$$[~\mathbf u \times \mathbf v~]^\mu = g^{\mu\alpha}~\epsilon_{\alpha\beta\gamma}~u^\beta~v^\gamma.$$

Тензор ориентации из-за его антисимметрии дает нам вектор, ортогональный векторам решетки, выполняя шаг 1 выше. Теперь это просто нужно нормализовать с помощью собственного скалярного произведения. Итак, теперь вы можете видеть, что общая формула должна быть (возможно,$2\pi$раз)

$$\bar e^{1\mu} = \frac{g^{\mu\alpha}~\epsilon_{\alpha\beta\gamma}~e^\beta_2 ~e^\gamma_3}{\epsilon_{\rho\sigma\tau}~e^\rho_1~e^\sigma_2~e^\tau_3}$$ И вот где вы получаете свое определение, $$\mathbf b_1 = \frac{2\pi~\mathbf a_2 \times \mathbf a_3}{\mathbf a_1 \cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)}.$$ «Перекрестное произведение» — это сокращение для этого тензора ориентации, а остальная его часть просто масштабируется, чтобы сделать скалярное произведение$\mathbf b_1 \cdot \mathbf a_1 = 2\pi.$

Но если бы мы делали 4 измерения, наш тензор ориентации сказал бы$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$и$\epsilon^{1234}$будет +1 и так далее; и мы будем использовать$a_{2\beta}, a_{3\gamma}, a_{4\delta}$чтобы сформировать соответствующий двойственный вектор.

Что происходит, когда мы переходим от 3D к 2D или от 4D к 3D? Что ж, нам нужно удалить одно из этих измерений тензора ориентации. Но есть очень простой способ сделать это: применить его к любому измерению, которое мы удаляем.

Так$\epsilon^{xy}$в 2D — это тензор ориентации, который принимает два вектора и возвращает скаляр; но его можно рассматривать как имеющий компоненты$\epsilon^{xy3}$из тензора трехмерной ориентации или$\epsilon^{xy34}$из четырехмерного тензора ориентации.

Вот почему вы можете рассматривать все это как$\mathbf b_1 = \operatorname{normalize}_{2\pi}\big(\mathbf a_2 \times \hat z\big)$и т. д. -- это просто потому, что существует простая связь между ориентациями этих подпространств.

Как уже сказал Эмилио Писанти, вам это не нужно. На самом деле можно определить обратную решетку для любой решетки в произвольном числе измерений:

Позволять$V$быть$n$- тусклый. реальное векторное пространство и пусть$g\colon V\times V\to\mathbf{R}$— невырожденное билинейное отображение (нам не нужно предполагать, что$g$симметричен). Если$(a_1,\ldots,a_n)$является основой$V$, матрица$g_{ij}=g(a_i,a_j)$обратим и если$(b_1,\ldots,b_n)\in V^n$, затем

$$\begin{equation*} g(a_i,b_j)=\delta_{ij}\Leftrightarrow b_i=g^{ij}a_i, \end{equation*}$$ где матрица$g^{ij}$является транспонированием обратной матрицы$g_{ij}$. (Если вы посмотрите на доказательство, вы увидите причину контравариантных индексов.)

Доказательство :

Во-первых,

$$\begin{equation*} g(a_i,b_j)=g(a_i,a^kb_ja_k)=g(a_i,a_k)a^kb_j=g_{ik}a^kb_j. \end{equation*}$$ С$(a_1,\ldots,a_n)$является основой и$g$невырождена, матрица $$\begin{equation*} G=\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots&g_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ g_{n1}&\cdots&g_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}$$ обратима, и можно доказать, что $$\begin{equation*} G^{-1}=\begin{pmatrix}g^{11}&\cdots&g^{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ g^{1n}&\cdots&g^{nn} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^1g^{-1}a^1&\cdots&a^ng^{-1}a^1\\ \vdots&&\vdots\\ a^1g^{-1}a^n&\cdots&a^ng^{-1}a^n \end{pmatrix} \end{equation*}$$ (нужно только показать, что$g_{ik}g^{jk}=\delta_{ij}$.) Используя эти два уравнения, мы получаем окончательный результат: $$\begin{equation*} g(a_i,b_j)=\delta_{ij}\Leftrightarrow b_i=g^{ij}a_i\Leftrightarrow g_{ik}a^kb_j=\delta_{ij}\Leftrightarrow a^kb_j=g^{jk}\Leftrightarrow b_j=g^{jk}a_k \end{equation*}$$