Общие параметры тензора энергии напряжений в локальной инерциальной системе отсчета

Общий симметричный тензор 4x4 имеет 10 независимых компонентов. Сколько компонентов мы можем задать в локальной инерциальной системе отсчета?

Например, релятивистская пыль диаг ( р с 2 , 0 , 0 , 0 ) в локальной инерциальной системе отсчета (таким образом, 1 параметр), что дает

Т мю ν "=" р в мю в ν
который имеет 4 параметра (один р а затем 3 параметра в в мю из-за условия в мю в мю "=" с 2 ).

Другим примером является идеальная жидкость с диаг ( р с 2 , п , п , п ) (таким образом, 2 параметра), что дает

Т мю ν "=" ( р + п с 2 ) в мю в ν + п г мю ν
Он имеет 5 параметров ( р , п и пространственные компоненты в я ).

Таким образом, мне кажется, что в локальной инерциальной системе отсчета всего 7 независимых параметров, так как остальные 3 степени свободы задаются скоростью (которая равна нулю в инерциальной системе отсчета). Это верно?

Ответы (1)

Нет, конечно, невозможно записать каждый общий тензор в терминах 7 параметров. Ясно, что пространство возможных тензоров энергии-импульса 10-мерно в д "=" 4 (10 параметров), поэтому вы не можете сделать его 7-мерным (7 параметров). Специальные варианты тензора, о которых вы упомянули, изотропны в системе отсчета — обработка Икс , у , г на равных (они инвариантны относительно С О ( 3 ) ). Но общие тензоры энергии-импульса не изотропны.

Вы всегда можете диагонализовать симметричный тензор в д "=" 4 , то есть заменить его 4 собственными значениями, которые я могу назвать р , п Икс Икс , п у у , п г г . Однако данные, необходимые для указания, в каких системах координат тензор становится диагональным, эквивалентны элементу С О ( 3 , 1 ) – преобразование Лоренца нужно для перехода от заданного базиса к базису собственных векторов матрицы – которая имеет оставшиеся 6 параметров (размерность группы Лоренца), так что если вы еще хотите запомнить информацию о направлениях – и тот факт, что вы включили компоненты в мю показывает, что вы действительно хотите их подсчитать — тогда вы вернетесь к 10 параметрам.

Это, конечно, обобщается на д размеры. Симметричный тензор имеет д ( д + 1 ) / 2 компоненты, которые могут быть разложены как д собственные значения и д ( д − 1 ) / 2 элементы антисимметричной матрицы, возведение в степень которых дает правое вращение или преобразование Лоренца, для которого тензор диагонализуется.

Ах, вы, конечно, правы. Благодарю за разъяснение. Это 4 собственных значения + 6 параметров группы Лоренца. Скорость связана с параметрами группы Лоренца — собственно, это и был мой вопрос, какую роль в этом играет скорость (я не знал, как это лучше сформулировать).
Чтобы быть конкретным для идеальной жидкости: мы хотим, чтобы тензор получил диагональ ( диаг ( р , п Икс Икс , п у у , п г г ) ) в локальной инерциальной системе отсчета. (Ограниченная) группа Лоренца генерируется 3 пространственными вращениями и 3 ускорениями, и мы не хотим, чтобы это зависело от пространственных вращений, поэтому мы получаем 3 усиления (которые могут быть параметризованы скоростью в я ), р и изотропный п "=" п Икс Икс "=" п у у "=" п г г , всего 5 параметров. Все имеет смысл. Я отметил ваш ответ как принятый.
Общие параметры тензора энергии напряжений в локальной инерциальной системе отсчета
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v