Тензор энергии-импульса идеальной жидкости в общей теории относительности

Примем систему единиц, в которой скорость света равна 1.

Компоненты тензора напряжений$T^{\alpha\beta}$физически означает следующее:$T^{00}$плотность энергии,$T^{0j}$поток энергии через пространственную поверхность$x_j=$постоянный ($j=1,2,3$),$T^{i0}$это плотность$i$-я компонента импульса, и$T^{ij}$это$i$-я компонента потока импульса через пространственную поверхность$x_j=$постоянный ($i,j=1,2,3$). Нормальный поток импульса ($T^{ij}$для$i=j$) вызывает нормальную нагрузку на жидкий элемент и другие ($T^{ij}$для$i\neq j$) вызывают касательное напряжение на жидком элементе.

Идеальная жидкость – это та, у которой вязкость и электропроводность равны нулю. Рассмотрим элементарный объем идеальной жидкости в ее MCRF (одновременно движущейся системе отсчета). Поскольку проводимость равна нулю, поток энергии в нее и из нее отсутствует, что означает$T^{0j}=0$. Поскольку нет вязкости, он не испытывает касательных напряжений, поэтому$T^{ij}=0$когда$i\neq j$. Кроме того, утверждение, что жидкость не имеет вязкости, является независимым от репера утверждением, поэтому$T^{ij}=0$когда$i\neq j$в любой системе отсчета, поэтому матрица$T^{ij}$должны быть диагональными во всех системах отсчета. Это возможно, только если$T^{ij}=p\delta^{ij}$в котором$\delta^{ij}$является тождественным тензором и$p$является скаляром, называемым давлением. Если мы обозначим плотность энергии через$\rho$, то тензор напряжений$T^{\alpha\beta}$в MCRF жидкостного элемента составляет:

$$\begin{bmatrix} \rho & 0 & 0& 0\\ 0 & p& 0& 0\\ 0 & 0& p& 0\\ 0 & 0& 0& p \end{bmatrix}$$ Это можно упростить как: $$\begin{bmatrix} \rho & 0 & 0& 0\\ 0 & p& 0& 0\\ 0 & 0& p& 0\\ 0 & 0& 0& p \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \rho+p & 0 & 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -p & 0 & 0& 0\\ 0 & p& 0& 0\\ 0 & 0& p& 0\\ 0 & 0& 0& p \end{bmatrix}\\ \Rightarrow\quad T^{\alpha\beta}=(\rho+p)(\mathbf{e}_0\mathbf{e}_0)^{\alpha\beta}+p\eta^{\alpha\beta}$$

в котором$\eta^{\alpha\beta}$является метрическим тензором. Единичный вектор в направлении времени (MCRF жидкостного элемента)$\mathbf{e}_0$есть не что иное, как его 4-скорость$\mathbf{U}$. Поэтому диадический$\mathbf{e}_0\mathbf{e}_0=\mathbf{U}\mathbf{U}$, компонент которого$(\mathbf{U}\mathbf{U})^{\alpha\beta}=U^\alpha U^\beta$. Таким образом, мы имеем:

$$T^{\alpha\beta}=(\rho+p)U^\alpha U^\beta+p\eta^{\alpha\beta}$$

Ссылка: Общая теория относительности Б. Шютца.