Вывод релятивистского тензора напряжения жидкости

Question

Вывод релятивистского тензора напряжения жидкости

Гор

В Википедии определение релятивистского тензора напряжения жидкости дается следующим образом:

Т_{мю ν} "=" р {ты}_{мю} {ты}_{ν} + п {час}_{мю ν} + (д_{мю} {ты}_{ν} + д_{ν} {ты}_{мю}) + π_{мю ν}

$T_{\mu \nu} := \rho u_{\mu} u_{\nu} + p h_{\mu \nu} + (q_{\mu} u_{\nu} + q_{\nu} u_{\mu} ) + \pi_{\mu \nu}$

Где $h_{\mu\nu}$ тензор проекции, $\rho$ это плотность, $p$ это давление, $q$ – вектор теплового потока и $\pi$ – тензор вязкого сдвига. Но как это получается?

Кайл Канос

Можете ли вы дать ссылку на соответствующую страницу Википедии? Те немногие, что я вижу (например, см. этот и этот ), не включают

π

$\pi$ или

q

$q$ условия.

пользователь154997

По сути, это упражнение 22.7 MTW!

Гор

@Кайл Канос, вот ссылка en.wikipedia.org/wiki/Fluid_solution

Ответы (1)

Вывод релятивистского тензора напряжения жидкости

Можете ли вы дать ссылку на соответствующую страницу Википедии? Те немногие, что я вижу (например, см. этот и этот ), не включают $\pi$ или $q$ условия.
@Кайл Канос, вот ссылка en.wikipedia.org/wiki/Fluid_solution

Эрик Йоргенфельт · Answer 1

На самом деле это просто ковариантное разложение тензора энергии-импульса с точно заданными именами. В частности, для нормированного времениподобного векторного поля $u^\mu$ (с соглашением $u^\mu u_\mu = 1$ ), любой тензор $S_{\mu\nu}$ можно разложить как:

С_{мю ν} "=" С_{о т} {ты}^{о} {ты}^{т} {ты}_{мю} {ты}_{ν} \pm {час}_{мю}^{о} С_{о т} {ты}^{т} {ты}_{ν} \pm {час}_{ν}^{т} С_{о т} {ты}^{о} {ты}_{мю} + \frac{1}{3} Т р (С) {час}_{мю ν} + Σ (С)_{мю ν} + Ом (С)_{мю ν},

$S_{\mu\nu} = S_{\sigma\tau}u^\sigma u^\tau u_\mu u_\nu \pm h_\mu{}^\sigma S_{\sigma\tau}u^\tau u_\nu \pm h_\nu{}^\tau S_{\sigma\tau}u^\sigma u_\mu + \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(S)h_{\mu\nu} + \Sigma(S)_{\mu\nu} + \Omega(S)_{\mu\nu},$ где знак второго и третьего членов зависит от того, как вы определяете тензор проекции (

h_{μ ν} = g_{μ ν} - u_{μ} u_{ν}

$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - u_\mu u_\nu$ урожаи

+

$+$ пока

h_{μ ν} = u_{μ} u_{ν} - g_{μ ν}

$h_{\mu\nu} = u_\mu u_\nu - g_{\mu\nu}$ урожаи

-

$-$ ), и где

\begin{aligned} Т р (С) & "=" {час}^{мю ν} С_{мю ν}, \\ Σ (С)_{мю ν} & "=" {час}_{мю}^{о} {час}_{ν}^{т} С_{(о т)} - \frac{1}{3} Т р (С) {час}_{мю ν}, \\ Ом (С)_{мю ν} & "=" {час}_{мю}^{о} {час}_{ν}^{т} С_{[о т]} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{Tr}(S) &= h^{\mu\nu}S_{\mu\nu}, \\ \Sigma(S)_{\mu\nu} &= h_\mu{}^{\sigma}h_\nu{}^\tau S_{(\sigma\tau)} - \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(S)h_{\mu\nu}, \\ \Omega(S)_{\mu\nu} &= h_{\mu}{}^\sigma h_\nu{}^\tau S_{[\sigma\tau]}. \end{align}$ Выше

S_{(μ ν)} = \frac{1}{2} (S_{μ ν} + S_{ν μ})

$S_{(\mu\nu)} = \frac{1}{2}(S_{\mu\nu} + S_{\nu\mu})$ и

S_{[μ ν]} = \frac{1}{2} (S_{μ ν} - S_{ν μ})

$S_{[\mu\nu]} = \frac{1}{2}(S_{\mu\nu} - S_{\nu\mu})$ . Поскольку тензор энергии-импульса симметричен,

T_{μ ν} = T_{(μ ν)}

$T_{\mu\nu} = T_{(\mu\nu)}$ , у нас есть

Ω (T) = 0

$\Omega(T) = 0$ , и

{час}_{мю}^{о} Т_{о т} {ты}^{т} "=" {час}_{мю}^{т} Т_{о т} {ты}^{о} \equiv \pm д_{мю} .

$h_\mu{}^\sigma T_{\sigma\tau}u^\tau = h_{\mu}{}^{\tau}T_{\sigma\tau}u^{\sigma} \equiv \pm q_\mu.$ Позволив

π_{μ ν} \equiv Σ (T)_{μ ν}

$\pi_{\mu\nu} \equiv \Sigma(T)_{\mu\nu}$ ,

p \equiv \mp \frac{1}{3} T r (T)

$p \equiv \mp\frac{1}{3}\mathrm{Tr}(T)$ , и

ρ \equiv T_{σ τ} u^{σ} u^{τ}

$\rho \equiv T_{\sigma\tau}u^\sigma u^\tau$ , получаем искомое выражение (в ваших терминах должна быть ошибка, связанная с

q

$q$ ).

Интерпретация $\rho$ как плотность энергии, $p$ как давление, $q_\mu$ как вектор тепла (или, что то же самое, как плотность импульса), и $\pi_{\mu\nu}$ как тензор вязкого сдвига (анизотропного напряжения) следует из определения тензора энергии-импульса, т.е. путем определения

\begin{aligned} Т^{мю ν} & "=" поток е_{мю} -компонента 4-импульса вдоль е_{ν} . \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu} &= \text{flux of the $\mathbf{e}_ \mu$-component of 4-momentum along $\mathbf{e}_\nu$}. \end{align}$

Редактировать: если вместо этого вы используете так называемое соглашение о космическом знаке, $u^\mu u_\mu = -1$ , затем $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu$ и знак второго и третьего членов становится $-$ , пока $p \equiv \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(T)$ , и мы определяем

{час}_{мю}^{о} Т_{о т} {ты}^{т} "=" {час}_{мю}^{т} Т_{о т} {ты}^{о} \equiv - д_{мю} .

$h_\mu{}^\sigma T_{\sigma\tau}u^\tau = h_{\mu}{}^{\tau}T_{\sigma\tau}u^{\sigma} \equiv -q_\mu.$

Да действительно есть ошибка в q спасибо. Однако вики-страница дает тензор проекции как $h_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} + u_{\mu} u_{\nu}$
@Horus Это было бы потому, что они используют другое соглашение о знаках, принимая $u^\mu u_\mu = -1$ .
Кстати, не могли бы вы предоставить ссылку для получения дополнительной информации об этом разложении? Я пытался найти его сам, но я не могу найти его.
@ Гор Боюсь, что нет. Места, которые я видел, не объясняют этого. Вам что-то непонятно?
Нет ничего неясного, кроме того, что я не знаю, почему декомпозиция была сделана таким образом. Например, некоторые могут сделать разложение на основе симметричных и антисимметричных свойств и бесследных частей, как разложение Риччи. Я просто не понимаю, почему это разложение работает. Насколько я понимаю, он разбивает тензор напряжений на ортогональные и перпендикулярные компоненты вдоль четырех векторов, но я все еще пытаюсь найти ортогональные и перпендикулярные компоненты в разложении и почему это так.
@ Horus Я бы рискнул предположить, что разложение выполняется таким образом, потому что оно осмысленно разделяет различные физические компоненты. Разложение дает нам тензор энергии-импульса с точки зрения плотности энергии наблюдателя, давления, теплового потока и анизотропного напряжения. Таким образом, легко соотносится с жидкостными моделями. Кроме того, эти величины являются наблюдаемыми (более или менее).

Вывод релятивистского тензора напряжения жидкости

Гор

Кайл Канос

пользователь154997

Гор

Ответы (1)

Эрик Йоргенфельт

Гор

Эрик Йоргенфельт

Гор

Эрик Йоргенфельт

Гор

Эрик Йоргенфельт

Тензор энергии напряжений идеальной жидкости и четырехскоростной

Тензор напряжения-энергии-импульса

Лагранжиан для идеальной жидкости Тензор энергии-импульса

Почему давление действует как источник гравитационного поля?

Общие параметры тензора энергии напряжений в локальной инерциальной системе отсчета

Тензор энергии-импульса идеальной жидкости в общей теории относительности

Должна ли Вселенная моделироваться идеальной жидкостью или идеальным газом?

Тензор напряжений: ковариантный или контравариантный?

Тензор энергии-импульса от действия поля материи

Может ли тензор энергии напряжения обратиться в нуль в общей теории относительности?