Очевидно ли, что гамильтониан, наблюдаемый в квантовой механике, также должен быть наблюдаемой энергией?

Тот факт, что энергия должна выступать генератором временных трансляций, является фундаментальным постулатом теории.

Для начала вы даже не могли определить$H$ быть $i\hbar \partial_t$потому что$H$должны действовать в гильбертовом пространстве$\mathcal{H}$тогда как первый оператор действует на кривых, определенных в гильбертовом пространстве, т. е. отображает$t \mapsto |\psi(t)\rangle$.

Дело в том, что$i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle$есть один постулат , где вы говорите: «Я хочу, чтобы энергия работала как надо — генератор временных трансляций».

Таким образом, остаются два вопроса: (i) почему это разумно и (ii) что$H$в конце концов?

Что касается (i), это лучшее предположение, которое вы можете сделать, благодаря предыдущему опыту работы с классической механикой. В классической механике, когда вы переформулируете теорию с гамильтоновой точки зрения, вы обнаружите, что энергия может быть полностью охарактеризована как генератор перемещений времени.

Зная это, вы переносите это и на КМ, и на теорию относительности. Возможно, вы привыкли к определению в теории относительности, которое с учетом четырех импульсов$p^\mu$в определенной системе отсчета энергия частицы определяется как$E = p^0$. Это как раз и говорит о том, что он генерирует временные переводы.

В КМ это принимает форму постулата уравнения Шредингера: энергия будет генерировать эволюцию во времени, так что действуя на кривую$|\psi(t)\rangle$государств с$i\hbar \partial_t$и вычисления в$t$должно совпадать с действием на кет$|\psi(t)\rangle$за каждый фиксированный$t$.

Теперь давайте перейдем к (ii). Где вы берете$H$от? Из обсуждения выше,$H$должен быть просто оператором, характеризующим энергию системы. Из постулатов КМ для каждой физической величины существует одна наблюдаемая. Энергия является физической величиной, и ее можно наблюдать. Это то, что$H$является.

Для систем с классическими аналогами, то есть квантованными системами, вы получаете$H$сначала записав классическую $H$который вы знаете из классической механики, а затем сделать его квантовым, заменив классические переменные их квантовыми наблюдаемыми аналогами.

Традиционный$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{r})$Гамильтониан должен быть знаком из классической механики. Теперь импульс становится в квантовой формулировке наблюдаемой$P$и положение становится наблюдаемым$\mathbf{R}$, то ваш квантовый гамильтониан равен$H = \frac{\mathbf{P}^2}{2m}+V(\mathbf{R})$.

Для других систем вы должны знать, что такое энергия для этой конкретной системы. Как только вы узнаете правильное выражение, у вас будет гамильтониан, и он будет действовать как следует, генерируя сдвиги времени.