Однопетлевой вклад в упорядоченное во времени произведение сохраняющихся токов

Мы заинтересованы в вычислениях

$$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \langle V^{\mu,a}(x) V^{\nu,b}(0) \rangle = \langle : {\bar \psi}(x) \gamma^\mu M^a \psi(x) : : {\bar \psi}(0) \gamma^\nu M^b \psi(0) : \rangle$$ Некоторые структуры этой величины могут быть вычислены непосредственно. Во-первых, давайте изучим структуру индекса. Во-первых, в силу трансляционной инвариантности имеем $\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \Pi^{\nu\mu,ba}(-x)$.

Мы сначала покажем, что$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) \propto Tr(M^a M^b) = \delta^{ab}$. Чтобы увидеть это, давайте явно запишем структуру индекса

$$\Pi^{\mu\nu,ab} = \gamma_{ij}^\mu \gamma_{i'j'}^\nu M_{rs}^a M_{r's'}^b \langle : {\bar \psi}_{i,r}(x) \psi_{j,s}(x) : : {\bar \psi}_{i',r'}(0) \psi_{j',s'}(0) : \rangle$$ Величина корреляционной функции пропорциональна $\delta_{rs'}\delta_{r's}$, с ${\bar \psi}$контракты с $\psi$. Таким образом, полное количество пропорционально $M^a_{rs} M^b_{r's'} \delta_{rs'} \delta_{r's} = Tr(M^a M^b) = \delta^{ab}$. Таким образом, у нас есть $\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \Pi^{\nu\mu,ab}(-x)$.

Далее, эта величина имеет индексы Лоренца$\mu\nu$. Единственными величинами Лоренца в игре являются$g^{\mu\nu}$и$x^\mu$,$x^\nu$. Единственный тензор, который можно построить, это

$$A(x^2) g^{\mu\nu} + B(x^2) x^\mu x^\nu$$ Далее мы можем изучить величину при масштабировании $x$. Напомним, что в $d=2$свободная теория, $\psi$имеет массовую размерность $\frac{1}{2}$. Таким образом, если $x^\mu \to \lambda x^\mu \implies \psi \to \lambda^{1/2} \psi$. Таким образом, мы должны иметь $$\Pi^{\mu\nu,ab}(\lambda x) = \lambda^{-2} \Pi^{\mu\nu,ab}(\lambda x)$$ Таким образом, $$A(x^2) \propto \frac{1}{x^2},~~~B(x^2) \propto \frac{1}{x^4}$$ Собрав все это вместе, находим структуру $$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = A \delta^{ab} \frac{1}{x^4} \left( x^2 g^{\mu\nu} + B x^\mu x^\nu \right)$$ Наконец, мы можем исправить $B$, требуя, чтобы, поскольку $V^{\mu,a}$является сохраняющимся током, мы должны иметь $$\partial_\mu \Pi^{\mu\nu,ab}(x) =0,~~~\text{if}~~~ x \neq 0$$ Быстрое вычисление дает $$\partial_\mu \Pi^{\mu\nu,ab}(x) = - A \delta^{ab} \left( B+2 \right) \frac{x^\nu}{(x^2)^2} \implies B = - 2$$ Собираем все это вместе $$\boxed{ \Pi^{\mu\nu,ab}(x) = A \delta^{ab} \frac{1}{x^4} \left( x^2 g^{\mu\nu} - 2 x^\mu x^\nu \right) }$$ Это все, что мы можем сказать об этой величине без явного вычисления диаграмм. Постоянная $A$можно определить только путем фактического вычисления соответствующих диаграмм Фейнмана.