ОРЕ тока Лоренца с тахионной вершиной

Это вопрос, относящийся к главе 2 книги Полчински по теории струн. На стр. 43 Полчински вычисляет ток Нётера из перемещений пространства-времени, а затем вычисляет его OPE с тахионной вершиной, см. уравнения (2.3.13) и (2.3.14).

$$j_a^{\mu} = \frac{i}{\alpha'}\partial_a X^{\mu}, \tag{2.3.13}$$ $$j^{\mu}(z) :e^{i k\cdot X(0,0)}:\quad \sim\ \frac{k^{\mu}}{2 z} :e^{i k\cdot X(0,0)}:\tag{2.3.14}$$

Я хотел сделать аналогичный расчет, но для пространственно-временных преобразований Лоренца. Сначала я вычислил ток Нётер, я получаю

$$L^{\mu\nu}(z)~=~ :X^{\mu} \partial X^{\nu}: ~-~ (\mu \leftrightarrow \nu).$$ Затем я рассчитал OPE, используя формулу Вика (в виде уравнения 2.2.10). Мой результат $$L^{\mu\nu}(z) :e^{i k\cdot X(0)}: \quad \sim\ -\frac{\alpha'}{2} \ln |z|^2\ i k^{\mu} :\partial X^{\nu} e^{i k\cdot X(0)}: ~-~\frac{\alpha'}{2} \frac{1}{z}\ i k^{\nu} :X^{\mu} e^{i k\cdot X(0)}: ~-~ (\mu \leftrightarrow \nu).$$ Я думаю, что этот ответ неверен из-за логарифма в правой части. Итак, мои вопросы

1. Является$L^{\mu\nu}(z)$Определенный выше действительно нётеровский ток из пространственно-временных преобразований Лоренца?

2. ОПЕ$L^{\mu\nu}(z) :e^{i k\cdot X(0)}:$выше правильно?

3. Есть ли ссылка, где выполняется этот расчет, чтобы я мог проверить свой результат?