Вычислить центральный заряд конформной теории поля bcbcbc

Вам не нужно использовать это. Вы можете просто делать перекрестные сокращения руками. Давайте сделаем это. Обратите внимание, что я забочусь только о$\frac{1}{z^4}$Срок для оценки центрального заряда. У нас есть

$$\begin{equation} \begin{split} T(z) T(w) & =\left( : \partial_z b c(z): - \lambda \partial_z : b c (z): \right) \left( : \partial_w b c(w): - \lambda \partial_w : b c (w): \right) \\ & = : (\partial_z b) c(z): : (\partial_w b) c(w): - \lambda \partial_z : b c (z): : (\partial_w b) c(w): \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- \lambda : (\partial_z b) c(z):\partial_w : b c (w): + \lambda^2 \partial_z : b c (z):\partial_w : b c (w): \end{split} \end{equation}$$ Теперь на каждом шаге мы сохраняем только полные сокращения, чтобы извлечь центральный заряд. Затем мы находим $$\begin{equation} \begin{split} T(z) T(w) &\sim \partial_z \frac{1}{z-w}\partial_w \frac{1}{z-w} - \lambda \partial_z \left( \frac{1}{z-w} \partial_w \frac{1}{z-w} \right)\\ &~~~~~ - \lambda \partial_w \left( \frac{1}{z-w} \partial_z \frac{1}{z-w} \right) + \lambda^2 \partial_z \partial_w \frac{1}{(z-w)^2} \\ &= \frac{-6\lambda^2 + 6 \lambda - 1 }{(z-w)^4} + \cdots \end{split} \end{equation}$$ Затем мы можем прочитать $$c = 2 \left( -6\lambda^2 + 6 \lambda - 1 \right) = - 3 (2 \lambda - 1 )^2 + 1$$

Я знаю, что прошло много времени, но, может быть, я смогу дать свой ответ на ваш вопрос. Начните с небольшого изменения отношения следующим образом.

$$\begin{align} :\mathcal{F}::\mathcal{G}:= exp\left(\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\left[\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{G}}(z_2)}}+\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{G}}(z_2)}}\right]\right):\mathcal{FG}:. \end{align}$$ Прежде чем проверять, что эта формула действительно дает правильные результаты, обратите внимание, что она должна быть симметричной относительно b и c, поскольку они являются переменными Грассмана. Стрелки над функциональными производными необходимы для получения правильного результата и означают, что вы должны действовать слева/справа от соответствующего оператора. Проверим следующий тривиальный случай $$\begin{align} :b(z)::c(w):&=exp\left(\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\left[\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{G}}(z_2)}}+\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{G}}(z_2)}}\right]\right):b(z)c(w): \\ &=:b(z)c(w):+\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\delta^2(z_1,z)\delta^2(z_2,w)\\ &=:b(z)c(w):+\frac{1}{z-w}, \end{align}$$ что в точности соответствует (2.5.7) в книге Полчинского. Здесь роль стрелок была бесполезна, т.к.$\mathcal{F}$и$\mathcal{G}$были сделаны одним оператором. Давайте перейдем к более сложному (и полезному) случаю. $$\begin{align} :bc(z)::bc(w):&=:bc(z)bc(w):+\frac{1}{z-w}:c(z)b(w):+\frac{1}{z-w}:b(z)c(w):+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(z-w)^2}+\frac{1}{(z-w)^2}\right)\\ &=:bc(z)bc(w):+\frac{1}{z-w}:c(z)b(w):+\frac{1}{z-w}:b(z)c(w):+\frac{1}{(z-w)^2}. \end{align}$$ Здесь вы видите, что самый высокий термин соответствует тому, что @Prahar написал в своем ответе. Если вы выполните полное вычисление OPE между двумя тензорами энергии-импульса (что я сделал и что довольно длинно), вы получите следующее выражение $$\begin{align} T(z)T(w)=\frac{-12\lambda^2+12\lambda-2}{2(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{z-w}, \end{align}$$ из которого вы читаете центральный заряд $$\begin{align} c=-12\lambda^2+12\lambda-2. \end{align}$$