Теорема Вика, упорядочение и CFT

Вы хотите взять производную как по z, так и по w.

Брать

$${X^\mu }\left( z \right){X^\nu }\left( w \right) \sim - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}\ln \left( {z - w} \right)$$

и используйте следующую производную

$${{{\partial ^2}} \over {\partial w\partial z}}\left[ {{X^\mu }\left( z \right){X^\nu }\left( w \right)} \right] = {\partial \over {\partial w}}\left[ {{X^\nu }\left( w \right){\partial \over {\partial z}}{X^\mu }\left( z \right)} \right] = {\partial \over {\partial z}}{X^\mu }\left( z \right){\partial \over {\partial w}}{X^\nu }\left( w \right)$$

Если мы сделаем то же самое с OPE...

$${{{\partial ^2}} \over {\partial w\partial z}}\left[ { - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}\ln \left( {z - w} \right)} \right] = {\partial \over {\partial w}}\left[ { - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {z - w}}} \right] = - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {{{\left( {z - w} \right)}^2}}}$$

Что дает нам правильный результат

$$\partial {X^\mu }\left( z \right)\partial {X^\nu }\left( w \right) \sim - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {{{\left( {z - w} \right)}^2}}}$$

Этот результат можно проверить, используя соответствующие разложения по модам. См. упр. 3.1 BBS ST и MT. http://www.nucleares.unam.mx/~alberto/apuntes/bbs.pdf

Что касается произведения обычных упорядоченных операторов... РЕДАКТИРОВАТЬ: см. ответ пользователя 2309840, лучше, чем то, что я написал.

К первой части ответа Джейка Лебовича добавить нечего.

Что касается второй части вопроса — как вычислить ОРЕ двух тензоров напряжений — используется теорема Вика. Нормальный порядок означает, что отдельные поля, составляющие нормальный упорядоченный оператор, не стягиваются вместе, в данном случае два$\partial X$составляет$T(z)$. Таким образом, в приведенном ниже расчете видно, что есть только два способа сжать все вместе, но четыре способа сжать только два из них.$\partial X$операторы:

$$T(z) T(w) = \frac{1}{\alpha'^2} {:} \partial X^\mu \partial X_\mu (z) {:}\, {:} \partial X^\nu \partial X_\nu(w) {:}$$ $$\sim \frac{2}{\alpha'^2} ( - \partial_z \partial_w \eta^\mu_\nu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2)(-\partial_z \partial_w \eta^\nu_\mu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2 )$$ $$+ \frac{4}{\alpha'} (- \partial_z \partial_w \eta^\mu_\nu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2) {:} \partial X^\nu (z) \partial X_\mu(w) {:}$$ $$\sim \frac{\eta^\mu_\mu}{2} \frac{1}{(z-w)^4} - \frac{2}{\alpha'} \frac{1}{(z-w)^2} {:} \partial X^\mu(z) \partial X_\mu(w){:} + \ldots$$ $$\sim \frac{D}{2} \frac{1}{(z-w)^4} + \frac{2}{(z-w)^2} T(w) + \frac{1}{(z-w)} \partial T(w) + \ldots$$ Последняя строка здесь представляет собой каноническую форму ОРЕ двух тензоров напряжений в двумерной конформной теории поля. $D$в первом члене - центральный заряд, часто обозначаемый $c$, но здесь равно числу $X$поля. Двойка во втором члене - это масштабная размерность тензора напряжений.

Последний вопрос ОП по существу гласит (v1):

В чем смысл произведения нормально упорядоченных операторов

$$: \partial X(z) \partial X(z) : :\partial X(w) \partial X(w): ~?$$

Строго говоря, это радиально упорядоченное произведение нормально упорядоченных операторов

$${\cal R} \left[ : \partial X(z) \partial X(z) : :\partial X(w) \partial X(w): \right].$$

Однако радиальное упорядочение${\cal R}$обычно неявно подразумевается и не пишется явно в текстах CFT. Тем не менее это важно. Без радиального упорядочения (или других видов упорядочения, таких как, например, временное упорядочение, нормальное упорядочение и т. д.) произведение оператора часто плохо определено. Сокращения (и двойные сокращения), которые выполняются в этом расчете (см., например, ответ пользователя 2309840), продиктованы перестановками из радиального упорядочения.${\cal R}$к нормальному упорядочению в соответствии с вложенной версией теоремы Вика . Это объясняется далее в этом посте Phys.SE.