Расширение продукта оператора с использованием деривативов

У меня есть вопросы относительно уравнения (2.2.4) в Polchinski Vol 1:

(2.2.4) Икс мю ( г 1 , г ¯ 1 ) Икс ν ( г 2 , г ¯ 2 ) "=" − α ′ 2 η мю ν п ⁡ | г 12 | 2 + ∑ к "=" 1 ∞ 1 к ! [ ( г 12 ) к : Икс ν ∂ к Икс мю ( г 2 , г ¯ 2 ) : + ( г ¯ 12 ) к : Икс ν ∂ ¯ к Икс мю ( г 2 , г ¯ 2 ) : ] .

Здесь г 12 "=" г 1 − г 2 , а :: означает нормальный порядок:

(2.1.21б) : Икс мю ( г 1 , г ¯ 1 ) Икс ν ( г 2 , г ¯ 2 ) "=" Икс мю ( г 1 , г ¯ 1 ) Икс ν ( г 2 , г ¯ 2 ) + α ′ 2 η мю ν п ⁡ | г 12 | 2 .

Теперь, как мы можем разместить строку нормального порядка

: Икс ν ∂ к Икс мю ( г 2 , г ¯ 2 ) :
в определении выше? Я могу представить, что есть как минимум два осложнения:

  1. задействована производная, и

  2. продукт теперь находится в одной точке ( г 2 , г ¯ 2 ) , где будет логарифмический термин п ⁡ | г 12 | 2 идти?

Ответы (1)

  1. Прежде всего, следует подчеркнуть, что LHS. экв. (2.2.4) и первые слагаемые в правой части. экв. (2.1.21b) радиально упорядочены, т.е. существует неявно записанный символ радиального упорядочения р в этих уравнениях

  2. уравнение (2.1.21b) — это определение конформного нормального порядка в терминах радиального порядка.

  3. Предполагается, что нормальный упорядоченный член

    : Икс мю ( г 1 , г ¯ 1 ) Икс ν ( г 2 , г ¯ 2 ) :   "="   ∑ к "=" 1 ∞ 1 к ! [ ( г 12 ) к : Икс ν ∂ к Икс мю ( г 2 , г ¯ 2 ) :   +   ( г ¯ 12 ) к : Икс ν ∂ ¯ к Икс мю ( г 2 , г ¯ 2 ) : ]
    является аналитическим . правая сторона является просто определяющим обозначением для этих коэффициентов Тейлора.

  4. Обратите внимание, что Полчински оперирует различными понятиями нормального порядка, ср. п. 59-60. Оказывается, конформный нормальный порядок и нормальный порядок рождения/уничтожения согласуются в материальном (но не в призрачном) секторе струны.

  5. Напомним, что строка Икс ( г , г ¯ ) представляет собой разложение Фурье по режимам создания/уничтожения/осциллятора α н , α ~ м и т. д. Если нормальный порядок :   : является нормальным порядком создания/уничтожения, т.е. с операторами создания (уничтожения), упорядоченными слева (справа), соответственно, тогда нормальный порядок :   : не зависит от координат мирового листа (WS), и тогда мы могли бы, в принципе, вычислить все коэффициенты в разложении Тейлора (2.2.4) в терминах режимов рождения и уничтожения.

Я предполагаю, что все эти концепции будут разработаны в последующих разделах первого тома. Однако уравнение (2.2.11) связано с нормальным порядком производных. Как возникают третья и четвертая строки (производные от log)?
Расширение продукта оператора с использованием деривативов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v