Вершинный оператор и нормальный порядок

Question

Вершинный оператор и нормальный порядок

Физика
распространитель
теорема о фитиле
струнная теория
конформная теория поля
домашнее задание и упражнения

мирянин

Двухточечная функция, или пропагатор свободного безмассового бозона, $\phi$ в 2 измерениях дается,

\begin{matrix} (1) & ⟨ ф (г, \bar{г}) ф (ж, \bar{ж}) ⟩ "=" - \frac{α^{'}}{2 π} {п | \frac{г - ж}{2 р} | + п | \frac{\bar{г} - \bar{ж}}{2 р} |} \end{matrix}

$\begin{equation} \langle \phi (z,\bar{z})\phi(w, \bar{w})\rangle ~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{2\pi}\{\text{ln}\left|\frac{z-w}{2R}\right|+\text{ln}\left|\frac{\bar{z}-\bar{w}}{2R}\right|\} \tag{1} \end{equation}$

где $R$ является ИК-отсечкой.

Мой вопрос:

Как это доказать
$\begin{matrix} (2) & е^{я к ф (Икс)} "=" : е^{я к ф (Икс)} : е^{\frac{α^{'} к^{2}}{2 π} п (а / 2 р)}, \end{matrix}$ $\text{e}^{ik\phi(x)} ~=~ :\text{e}^{ik\phi(x)}:\text{e}^{\frac{\alpha'k^2}{2\pi}\text{ln}(a/2R)},\tag{2}$ где $a$ является УФ-отсечкой, и $:\mathcal{O}:$ означает нормальный заказ?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /106242/2451

Ответы (2)

Вершинный оператор и нормальный порядок

Связанный: физика.stackexchange.com/q /106242/2451

Qмеханик · Answer 1

I) Вспомните сначала $\phi\phi$ - Расширение продукта оператора ( OPE ):

\begin{matrix} (А) & р {ф (г, \bar{г}) ф (ж, \bar{ж})} - : ф (г, \bar{г}) ф (ж, \bar{ж}) : "=" С (г, \bar{г}; ж, \bar{ж}) 1, \end{matrix}

$\tag{A} {\cal R}\left\{\phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w})\right\} ~-~: \phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w}): ~=~C(z,\bar{z};w,\bar{w}) ~{\bf 1},$

где предполагается сокращение $c$ -число:

\begin{matrix} (Б) & С (г, \bar{г}; ж, \bar{ж}) "=" ⟨ 0 | р {ф (г, \bar{г}) ф (ж, \bar{ж})} | 0 ⟩ "=" - \frac{α^{'}}{2 π} п \frac{| г - ж |^{2} + а^{2}}{(2 р)^{2}}, \end{matrix}

$\tag{B} C(z,\bar{z};w,\bar{w})~=~ \langle 0 | {\cal R}\left\{\phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w})\right\} |0\rangle ~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{2\pi}\ln\frac{|z-w|^2+a^2}{(2R)^2},$ ср. например, этот пост Phys.SE. Помимо ИК-отсечки

R > 0

$R>0$ , мы добавили УФ-регулятор

a > 0

$a>0$ в сокращении (В). Следовательно, в совпадающей точке мирового листа сжатие остается конечным

\begin{matrix} (С) & С (г, \bar{г}; г, \bar{г}) "=" - \frac{α^{'}}{π} п \frac{а}{2 р} . \end{matrix}

$\tag{C} C(z,\bar{z};z,\bar{z})~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{\pi}\ln\frac{a}{2R}.$

II) ${\cal R}$ символ в уравнениях. (A)-(B) обозначает радиальное упорядочение. Обратите внимание, что многие авторы не пишут символ радиального упорядочения. ${\cal R}$ явно, см. например, уравнение ОП. (1). Часто это только неявно подразумевается в обозначениях. Радиальный порядок ${\cal R}$ имеет интерпретацию как временной порядок и необходим для того, чтобы установить контакт с соответствующим операторным формализмом и корреляционными функциями. Обратите внимание, в частности, что экспонента в уравнении ОП. (2) можно записать в радиальном порядке

\begin{matrix} (Д) & р {е^{я к ф (г, \bar{г})}} . \end{matrix}

$\tag{D} {\cal R}\left\{ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\right\}.$

III) Затем мы используем теорему Вика между радиальным и нормальным порядком:

\begin{matrix} (Э) & р {Ф [ф]} "=" опыт (\frac{1}{2} \int г^{2} г г^{2} ж С (г, \bar{г}; ж, \bar{ж}) \frac{дельта}{дельта ф (г, \bar{г})} \frac{дельта}{дельта ф (ж, \bar{ж})}) : Ф [ф] :, \end{matrix}

$\tag{E} {\cal R}\left\{{\cal F}[\phi]\right\} ~=~ \exp \left(\frac{1}{2} \int\! d^2z~d^2w~ C(z,\bar{z};w,\bar{w})\frac{\delta}{\delta\phi(z,\bar{z})} \frac{\delta}{\delta\phi(w,\bar{w})} \right) :{\cal F}[\phi]:,$

ср. например, ссылка 1 и мой ответ Phys.SE здесь . Здесь ${\cal F}[\phi]$ обозначает произвольный функционал поля $\phi$ .

Для экспоненты (D) теорема Вика (E) принимает вид

р {е^{я к ф (г, \bar{г})}} \overset{(Е)}{"="} опыт (\frac{(я к)^{2}}{2} С (г, \bar{г}; г, \bar{г})) : е^{я к ф (г, \bar{г})} :

${\cal R}\left\{ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\right\} ~\stackrel{(E)}{=}~\exp \left(\frac{(ik)^2}{2}C(z,\bar{z};z,\bar{z})\right) :e^{ik\phi(z,\bar{z})}:$

\begin{matrix} (Ф) & \overset{(С)}{"="} опыт (\frac{α^{'} к^{2}}{2 π} п \frac{а}{2 р}) : е^{я к ф (г, \bar{г})} : "=" {(\frac{а}{2 р})}^{\frac{α^{'} к^{2}}{2 π}} : е^{я к ф (г, \bar{г})}, \end{matrix}

$\tag{F}~\stackrel{(C)}{=}~ \exp \left(\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}\ln\frac{a}{2R}\right) :e^{ik\phi(z,\bar{z})}: ~=~\left(\frac{a}{2R}\right)^{\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}} :e^{ik\phi(z,\bar{z})},$

что является искомой формулой ОП (2).

IV) В качестве альтернативы предположим, что поле

\begin{matrix} (Г) & ф (г, \bar{г}) "=" ф (г, \bar{г}) + ф (г, \bar{г})^{†}, ф (г, \bar{г}) | 0 ⟩ "=" 0, \end{matrix}

$\tag{G} \phi(z,\bar{z})~=~\varphi(z,\bar{z}) + \varphi(z,\bar{z})^{\dagger}, \qquad \varphi(z,\bar{z})|0\rangle~=~0,$ можно записать как сумму части уничтожения и создания. Тогда УФ-регуляризованный ОРЕ (А) становится

[ф (г, \bar{г}), ф (г, \bar{г})^{†}] \overset{(г)}{"="} ф (г, \bar{г}) ф (г, \bar{г}) - : ф (г, \bar{г}) ф (г, \bar{г}) :

$[\varphi(z,\bar{z}),\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}] ~\stackrel{(G)}{=}~\phi(z,\bar{z})\phi(z,\bar{z}) ~-~: \phi(z,\bar{z})\phi(z,\bar{z}):$

\begin{matrix} (ЧАС) & \overset{(А)}{"="} С (г, \bar{г}; г, \bar{г}) 1 . \end{matrix}

$\tag{H} ~\stackrel{(A)}{=}~C(z,\bar{z};z,\bar{z}) ~{\bf 1}.$

Более того, вершинный оператор становится

: е^{я к ф (г, \bar{г})} : \overset{(г)}{"="} е^{я к ф (г, \bar{г})^{†}} е^{я к ф (г, \bar{г})} \overset{МПБ}{"="} е^{я к ф (г, \bar{г})^{†} + я к ф (г, \bar{г}) + \frac{1}{2} [я к ф (г, \bar{г})^{†}, я к ф (г, \bar{г})]}

$:e^{ik\phi(z,\bar{z})}: ~\stackrel{(G)}{=}~e^{ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}}e^{ik\varphi(z,\bar{z})} ~\stackrel{\text{BCH}}{=}~e^{ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}+ik\varphi(z,\bar{z})+\frac{1}{2}[ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger},ik\varphi(z,\bar{z})]}$

\begin{matrix} (Я) & \overset{(ЧАС)}{"="} е^{я к ф (г, \bar{г})} е^{\frac{к^{2}}{2} С (г, \bar{г}; г, \bar{г})} \overset{(С)}{"="} е^{я к ф (г, \bar{г})} опыт (- \frac{α^{'} к^{2}}{2 π} п \frac{а}{2 р}), \end{matrix}

$\tag{I}~\stackrel{(H)}{=}~ e^{ik\phi(z,\bar{z})}e^{\frac{k^2}{2}C(z,\bar{z};z,\bar{z})}~\stackrel{(C)}{=}~ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\exp \left(-\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}\ln\frac{a}{2R}\right) ,$

что снова приводит к искомой формуле ОП (2). В уравнении (I) мы использовали усеченную формулу BCH , см., например , этот пост Phys.SE.

Использованная литература:

Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 1; п. 39, экв. (2.2.7).

мирянин · Answer 2

Здесь

$\begin{equation} \langle ik\phi(x)ik\phi(x)\rangle = \frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R), \end{equation}$

где $a$ является УФ отсечкой.

Теперь мы можем написать (как и все $\phi$ расположены по адресу $x$ т.е. радиальный порядок $\{\phi^n(x)\}=\phi^{n}(x)~$ )

$\begin{align} \{ik\phi\}^{n}(x) ~&=~ :\{ik\phi\}^n(x): +\sum_{\text{all contractions}} \\ &=~ :\{ik\phi\}^n(x): + ~ ^nC_2 \left(\frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R)\right) :\{ik\phi\}^{n-2}(x):+\frac{^nC_2~ ^{n-2}C_2}{2} \left(\frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2:\{ik\phi\}^{n-4}(x): +\cdots \\ &=~ :\{ik\phi\}^n(x):+n(n-1) \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right) :\{ik\phi\}^{n-2}(x):+ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!} \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2 :\{ik\phi\}^{n-4}(x):+\cdots \end{align}$

Расширяем вершинный оператор,

$\begin{align} \text{e}^{ik\phi(x)} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ik\phi)^n(x)}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^n(x):}{n!} + \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)\sum_{n=2}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^{n-2}(x):}{(n-2)!} +\frac{1}{2!}\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2\sum_{n=4}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^{n-4}(x):}{(n-4)!} +\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^n(x):}{n!} \left[1+\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right) +\frac{1}{2!}\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2 +\cdots \right] \\ &=~ :\text{e}^{ik\phi(x)}: \text{e}^{\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)}. \end{align}$

КЭД

Вершинный оператор и нормальный порядок

мирянин

Qмеханик

Ответы (2)

Qмеханик

мирянин

Вик-порядок и радиальный порядок в CFT

Нормальный порядок в свободном бозонном вершинном операторе

Вирасоро TT OPE (2.2.11) в книге Полчински

ОРЕ тока Лоренца с тахионной вершиной

Тензор энергии-импульса оператора расширения произведения

Расширение продукта оператора с использованием деривативов

Вычислить центральный заряд конформной теории поля bcbcbc

Основное уравнение бозонизации

Теорема о расходимости в комплексных координатах

Теорема Вика, упорядочение и CFT