Недавно я понял, что тензор энергии-импульса можно рассчитать следующим образом:
Тмк ν"="2− г−−−√дельтаСмдельтагмк ν.(1)
Итак, рассмотрим действие
См= ∫г4Икс− г−−−√×12(гмк ν∂мюф∂νϕ -м2ф2) .(2)
Здесь я использую( + , - , - , - )
Соглашение о знаках Минковского. Варьируя это действие относительногмк ν
, я получил (коэффициент12
временно снято):
дельта− г−−−√дельтагмк ν(гмк ν∂мюф∂νϕ -м2ф2) +− г−−−√дельтадельтагмк ν(гαβ _∂αф∂βф )= -− г−−−√2гмк ν(гмк ν∂мюф∂νϕ -м2ф2) +− г−−−√(12дельтаαмюдельтаβν+12дельтаανдельтаβмю)∂αф∂βф"="− г−−−√(∂мюф∂νϕ -12гмк ν(гαβ _∂αф∂βϕ -м2ф2) )(3)
который дает:
Тмк ν"="∂мюф∂νϕ -12гмк ν(гαβ _∂αф∂βϕ -м2ф2)(4)
и согласуется с тем, что дано теоремой Нётер.
Но если я напишу действие как
См= ∫г4Икс− г−−−√×12(гмк ν∂мюф∂νϕ -м2ф2)(5)
тогда тождество:
дельтагмк ν= -гμ αгνβдельтагαβ _(6)
поскольку для введения дополнительного знака минус так, чтобы тензор энергии-импульса был
Тмк ν= -∂мюф∂νϕ -12гмк ν(гαβ _∂αф∂βϕ -м2ф2) .(7)
Это оно
гмк ν∂мюф∂νф ≠гмк ν∂мюф∂νф(8)
в GR или я что-то не так сделал? (Я никогда раньше не изучал GR, так что буду признателен, если кто-нибудь найдет другие вещи, которые я сделал неправильно)
Кнчжоу
Франческо Бернардини