Приложения спектральной теоремы к квантовой механике

Это правда, что многое из квантовой механики можно изучить и понять без особых знаний математических основ, и обычно так оно и есть. Поскольку КМ является обязательным курсом на многих факультетах, которые должны посещать и будущие физики-экспериментаторы, это также имеет смысл. Но будущим физикам-теоретикам и математикам, возможно, будет полезно немного узнать и о математике.

Небольшой анекдот: Джон фон Нейман однажды сказал Вернеру Гейзенбергу, что математики должны быть благодарны за квантовую механику, потому что она привела к изобретению многих прекрасных математических методов, но что математики отплатили за это тем, что прояснили, например, разницу между самосопряженным и симметричный оператор. Гейзенберг спросил: «В чем разница?»

Предположим, вы хотите вычислить exp(A). Почему бы вам не определить exp(A):=1+A+1/2 A^2 + ... и потребовать сходимости по операторной норме.

Это правильно. Преимущество спектральной теоремы состоит в том, что вы можете определить f(A) для любого самосопряженного (или, в более общем случае, нормального) оператора для любой ограниченной борелевской функции. Это пригодится во многих доказательствах в теории операторов.

Кроме того, я слышал, что спектральная теорема дает полное описание всех самосопряженных операторов. Теперь, почему это так? Я имею в виду, хорошо... есть взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами и спектральными мерами...

Это тоже правильно. Вот почему спектральные меры являются гораздо более простыми объектами, чем самостоятельные операторы. Более того, вы можете использовать спектральную теорему, чтобы доказать, что каждый самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения (умножить f(x) на x). С абстрактной точки зрения это очень удовлетворительная характеристика. Однако это не очень помогает для конкретных расчетов в QM.

Кстати: на более продвинутом уровне вам нужно понять спектральную теорему, чтобы понять, что такое массовый разрыв в теории Янга-Миллса (проблема тысячелетия).

Подсказка: в КТП в пространстве-времени Минковского обычно предполагается, что существует непрерывное представление группы Пуанкаре, особенно коммутативной подгруппы трансляций, в гильбертовом пространстве, которое содержит все физические состояния. Операторы, образующие представление, имеют общую спектральную меру, это приложение SNAG-теоремы. Носитель этой спектральной меры отделен от нуля, это определение массовой щели.

Уважаемый Константин,$A=\int_R \lambda\,dP^A$является просто непрерывной версией спектрального разложения. Здесь$dP^A$является дифференциальной версией операторов проектирования, которые определяют эрмитов оператор.

Для дискретного спектра соответствующее уравнение будет

$$A = \sum_{i} \lambda_i P_{\lambda_{i}}$$ где сумма идет по собственным значениям $\lambda_i$а также $P_{\lambda_i}$операторы проектирования на подпространство гильбертова пространства, которое содержит собственные векторы с собственным значением $\lambda_i$. Верно, $\lambda$всегда подразумевается как возможное собственное значение оператора. И действительно, эрмитов оператор полностью определяется своим спектром и соответствующими собственными векторами (и кратностями) для каждого собственного значения, поэтому приведенная выше формула является эквивалентным способом перезаписи эрмитова оператора.

Когда спектр$A$непрерывно, суммирование по$i$следует заменить интегралом, а соответствующий дифференциал$d$добавляется перед$dP_{\lambda}$: это действительно дифференциал оператора проектирования на пространство собственных состояний с собственными значениями в интервале$[-\infty, \lambda]$;$dP_\lambda = dP_\lambda / d\lambda \cdot d\lambda$, если хотите.

Но на самом деле морально то же самое, что и в случае с дискретным спектром (который производит дельта-функции в$dP_\lambda / d\lambda$если принять эту терминологию). Кроме того, некоторые из ваших дополнительных доказательств, связанных с$\Delta$просто тривиальные замены под знаком интеграла. Нужно знать множество деталей ваших математических аксиом — много особенностей конкретной «математической культуры», из которой вы родом, — чтобы выяснить, что именно может быть трудным для математика в подстановках под знаком интеграла. С точки зрения физики сложностей нет - это школьная математика.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem#Hermitian_matrices

Математики могут беспокоиться об ограниченности и четкости всех этих вещей на протяжении большей части своей карьеры, но эти вещи совершенно бесполезны с точки зрения физики.

Если физик узнает, что ответ на вопрос по физике требует от него вычисления$f(A)$, функция оператора - наблюдаемая - ему просто нужно вычислить ее, выглядит ли она сложной или четко определенной. В частности, всегда предполагается, что разложение Тейлора для таких функций, как экспонента, выполняется.

Вы обсуждаете функцию$g(A)$оператора в качестве примера. Процедуры, которые вы описываете физически, означают, что человек диагонализирует$A$- что приводит проекционные операторы к простой форме (только одно число$1$по диагонали) - и тогда он просто применяет функцию$g$к собственным значениям. Другими словами,

$$A = U D U^{-1} \quad \Rightarrow \quad g(A) = U g(D) U^{-1}$$ куда $g(D)$представляет собой просто диагональную матрицу с элементами $g(D_{ii})$по диагонали. Формула выше работает, потому что $U^{-1} U$отменить везде посередине, если мы напишем $g(A)$например, как расширение Тейлора - и, обобщая, мы просто объявляем приведенную выше формулу правильной, даже если расширение Тейлора не подходит для математика.

Разложение Тейлора для экспоненты всегда приемлемо с точки зрения физика.

Все эти объекты — гильбертовы пространства, операторы, их функции (особенно экспоненты), спектры, собственные значения — и все эти операции — возведение в степень, поиск проекционных операторов и т. д. — действительно важны в физике. И это то, что математики часто заявляют, когда хотят, чтобы их студенты слушали. Но в равной степени верно и то, что все вопросы, на которых математики сосредотачиваются большую часть своей жизни, совершенно не интересны с научной точки зрения.

Вот почему комментарии о том, что «материал важен в физике», аморальны.

Математикам не следует пытаться поддерживать привлекательность своих учений физическими приложениями, особенно потому, что их настоящая цель (и настоящая цель чистой математики) состоит в том, чтобы сделать их как можно более независимыми от естествознания. Не может быть и того, и другого. Заниматься физикой или наукой означает, что можно «доказывать» все эти вещи, например,$g(A)=g(A)$что на самом деле является содержанием «трудного» доказательства, которое вы набросали) - гораздо более элегантно и, возможно, наивно, чем в математике. Человека беспокоит отсутствие строгости только в том случае, если он действительно может найти противоречие с экспериментом или другими расчетами. Если его не существует, с наукой все в порядке.

С другой стороны, математики обычно ищут проблемы, даже если с точки зрения ученого проблем не существует. Это подразумевает совершенно другой набор приоритетов, и маловероятно, что студент будет в восторге от обоих. Либо человек предпочитает измерять истину придирками, основанными на заданных наборах аксиом, что является точкой зрения математика, либо он готов корректировать свои методы, аксиомы и точные определения объектов (и изобретать или изучать совершенно новые разделы физики). по мере необходимости, чтобы согласиться с эмпирическими данными и другими точными расчетами, что является точкой зрения физика.

Это разные подходы, и именно поэтому я думаю, что ваш вопрос должен был быть размещен на математическом форуме, потому что он на самом деле не соответствует образу мышления физика и на самом деле не мотивирован желанием понять Природу.

Однако тогда я говорю: зачем вы все так усложняете? Предположим, вы хотите вычислить$\exp(A)$. Почему бы вам не определить

$$\exp(A)~:=~1+A+1/2 A^2 + \ldots$$ и требуют сходимости по операторной норме. Пример: рассмотрим векторное пространство, натянутое на мономы $1,x,x^2,\ldots$и разреши $A=d/dx$. Тогда вы сможете точно определить

$$\exp(d/dx)~:=~1+ d/dx + 1/2 d^2/dx^2 + \ldots$$

и требуют сходимости по операторной норме.

Ответ прост: процедура, которую вы предлагаете , не работает , если только$A$ограничен . _ Ограниченные операторы представляют собой очень частный случай в QM, где большинство операторов неограничены, поскольку диапазон значений наблюдаемых, которые они представляют, неограничен. Спектральное интегрирование полезно (я говорю, существенно) как раз для этих наиболее частых случаев в КМ.

Кроме того, я слышал, что спектральная теорема дает полное описание всех самосопряженных операторов. Теперь, почему это так? Я имею в виду, хорошо ... есть однозначное соответствие между самосопряженными операторами и спектральными мерами ... но почему это дает мне какую-либо информацию о «внутренней структуре оператора»? (И зачем это$\lambda$в интеграле? Как-то похоже на собственное значение$A$? Но я только предполагаю)

Это гораздо более сложный вопрос, очень технический. Короткий ответ заключается в том, что спектральная теорема позволяет построить как$f(A)$куда$f$— любая измеримая комплекснозначная функция. Обратите внимание, однако, что спектральная теорема верна, в более общем смысле, для неограниченных в общем случае нормальных замкнутых операторов.

Спектральная теорема действительно важна при анализе операторов на строгом уровне.

Помимо работы с фундаментальными неограниченными операторами (почти каждый гамильтониан, имеющий физическое значение, неограничен), он также помогает ответить на вопросы, касающиеся спектра операторов.

Например, необходимо использовать спектральную теорему, чтобы доказать, что сумма двух неограниченных коммутирующих самосопряженных операторов является самосопряженной и что существует общая спектральная мера с правильными свойствами (например, если спектр двух чисто дискретно можно найти ортонормированный базис собственных векторов обоих операторов, и эта идея лежит в основе полного набора коммутирующих наблюдаемых).

Другой пример — исследование дискретного и существенного спектра, который может быть строго определен только с помощью спектральных мер. Дискретный спектр тесно связан с существованием связанных состояний (экспоненциально затухающих собственных функций).

Также часто используется в теории возмущений и при изучении сходимости неограниченных операторов. У него может быть не так много явных и прямых приложений, но он является фундаментальным строительным блоком теории самосопряженных (на самом деле нормальных) операторов, особенно неограниченных, где иногда физическая интуиция, такая как использование рядов, может оказаться неверной (! ), и с ним нужно обращаться очень осторожно.

Предлагаю вам просмотреть главу VII (спектральная теорема) и особенно VIII (неограниченные операторы) первой книги Рида и Саймона «Методы современной математической физики» для дальнейшего разъяснения. В главе VIII есть раздел под названием «Формальное манипулирование — деликатное дело», который может помочь вам лучше понять, что я имел в виду в предыдущем абзаце.