Существует ли волновая функция для любого человека?

Я не думаю, что это так. Полезная ссылка: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.80.1083 .

Один из способов приблизиться к теории анионов — начать с написания списка типов частиц вместе с правилами их слияния. Сделав это, можно получить уравнения согласованности, решая уравнения шестиугольника и пятиугольника, возникающие из модульных тензорных категорий. Если вам удастся решить эти уравнения, у вас появится жизнеспособная теория. Если существует несколько решений, у вас есть несколько теорий.

Теперь, сделав это, мы можем пометить каждое состояние в гильберте деревом слияния. Следовательно, наше гильбертово пространство очень хорошо определено, хотя и абстрактно. Мы можем обеспечить взаимодействие в этом гильбертовом пространстве, создав проекторы, которые благоприятствуют близлежащим (в реальном пространстве) любым ионам для слияния вместе в различных каналах. Отсюда, в принципе, мы могли бы диагонализовать систему конечного размера и извлечь волновые функции.

Простым примером является рассмотрение Ising anyons. Они появляются в сотовой модели Китаева и проявляются как нулевые майорановские моды в одномерных p-волновых проволоках. (см., например , http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491605002381 и ). В случае одномерных p-волн мы, безусловно, можем записать волновые функции нулевых мод Майораны, поскольку они являются решениями уравнений БдГ.

Тем, у кого похожий запрос, стоит прочитать исходную статью, в которой были предложены anyons, написанные Лейнаасом и Мирхеймом в 1977 году ( https://www.ifi.unicamp.br/~cabrera/teaching/referencia.pdf ). Он обеспечивает совершенно непротиворечивую 1-ю квантованную теорию анионов. Я попытался обобщить основные утверждения приведенной ниже статьи, но я не математик, поэтому дайте мне знать, если я что-то не так понял!

Волновая функция находится над конфигурационным пространством

Авторы статьи отмечают, что описание, в котором ограничения симметрии возникают естественным образом, может быть получено, если задать волновую функцию над классическим конфигурационным пространством системы. Например, в конфигурационном пространстве двух одинаковых частиц точка$(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2)$отождествляется с$(\mathbf{x}_2, \mathbf{x}_1)$- то есть точка, где две частицы меняются местами. Эти две точки совершенно неотличимы друг от друга.

Причина нетривиальной обменной статистики состоит в том, что точки, в которых положения частиц совпадают, такие как$(\mathbf{x}, \mathbf{x})$, удаляются из конфигурационного пространства. То есть пространство имеет в себе проколы, что делает его не просто связанным. Обратите внимание, что если вы не удалите эти точки, вы получите статистику бозонного обмена.

Волновая функция — это многозначная функция из этого проколотого конфигурационного пространства в комплексную плоскость (или в многомерное векторное пространство над комплексным полем, если вы имеете дело со спином и другими вырождениями). Тот факт, что волновая функция является многозначной, означает, что вы не можете просто применить простой аргумент, приведенный в некоторых учебниках, согласно которому фаза, полученная при обмене, должна равняться 1.

Обмен частицами соответствует движению по замкнутым петлям в конфигурационном пространстве. Если петля несжимаема, волновая функция может принимать произвольную сложную фазу, когда система движется по этой кривой. В 2D конфигурационное пространство двух частиц можно представить как конус с удаленной точкой вершины, поэтому путь, огибающий вершину$n$раз не деформируется в тот, который его окружает$m\neq n$раз. То есть двойной обмен не деформируется в тривиальный путь. Но в 3D конфигурационное пространство двух частиц (при фиксированном расстоянии между частицами) представляет собой сферу с идентифицированными противоположными точками. Это пространство таково, что обход несжимаемой петли дважды приводит к тривиальной петле. Другими словами, двойной обмен эквивалентен отсутствию обмена. Следовательно, любая фаза, полученная в результате одного обмена, должна равняться 1.

Более подробная информация

Предположим, что у нас есть волновая функция без компонент спина. То есть в каждой точке конфигурационного пространства$\mathbf{x}\in M$, у нас есть вектор$\mathbf{\Psi}(\mathbf{x})$в одномерном комплексном гильбертовом пространстве,$h_\mathbf{x}= \mathbb{C}$. Написано в терминах нормализованного базиса,$\mathbf{\chi}_\mathbf{x}$,$\mathbf{\Psi}(\mathbf{x}) = \psi (\mathbf{x}) \mathbf{\chi}_\mathbf{x}$. Поскольку пространство одномерно,$\mathbf{\chi}_\mathbf{x}$просто сложная фаза,$e^{i\theta_\mathbf{x}}$. Функция$\psi (\mathbf{x})$является волновой функцией системы и является многозначной, а$\mathbf{\Psi}(\mathbf{x})$является состоянием системы в гильбертовом пространстве и считается однозначным. Другими словами, у нас есть расслоение, где конфигурационное пространство является базовым многообразием, а слой$h_\mathbf{x}$. Штат$\mathbf{\Psi}$является сечением пучка волокон.

Учитывая выбор основы$\mathbf{\chi}_\mathbf{x}$в точку$\mathbf{x}$, мы можем определить базис во всех точках$M$если у нас есть понятие параллельного транспорта. При определенном выборе (плоской) связи нельзя обнаружить никаких изменений в базисе после параллельного переноса по любой кривой, если только эта кривая не огибает одну из точек в пространстве. Вдоль одной из этих нетривиальных кривых$\mathcal{C}$, базисные векторы приобретают сложную фазу,$e^{i\alpha(\mathcal{C})}$, независим от$\mathbf{x}$. Для того, чтобы государство$\mathbf{\Psi}$чтобы быть однозначной, волновая функция должна быть изменена обратной комплексной фазой на ту, которую приобретает базисный вектор:$e^{-i\alpha(\mathcal{C})}$.

Если любые два пути гомотопны (деформируемы друг в друга), то они должны обогнуть эти проколы одинаковое число раз и, следовательно, получить один и тот же множитель. То есть фаза, приобретаемая в результате обмена, определяется фундаментальной группой конфигурационного пространства. Действительно,$e^{i\alpha(\mathcal{C})}$принадлежит унитарному представлению фундаментальной группы, действующей на векторном пространстве$h_\mathbf{x}$.

В 3D фундаментальная группа конфигурационного пространства изоморфна симметрической группе, поскольку двойной обмен гомотопен тривиальному элементу (без обмена). Единственными одномерными представлениями симметричной группы являются тривиальное представление (бозоны) и чередующееся представление (фермионы), которое переводит нечетные перестановки в -1, а четные перестановки в +1. Между тем в 2D фундаментальная группа для 2 частиц изоморфна$\mathbb{Z}$после обмена частицами$n$раз отличается от этого$m\neq n$раз. Таким образом, фундаментальная группа для$N$частицы изоморфны группе кос . Группа кос имеет континуум одномерных представлений, соответствующих умножению на любую комплексную фазу.

Вы должны попытаться проверить, что$n$лагранжевы частицы

$$L = L_{0} - \alpha \sum_{i =1, j > i}^{n}\frac{d}{dt}\theta(\mathbf r_{i} - \mathbf r_{j}),$$ где $L_{0}$является «стандартным» для многих частиц лагранжевым и $\theta (\mathbf r_{i} - \mathbf r_{j})$азимутальный угол между $i$й и $j$векторов положения частиц, описывает статистику анионов (заданная амплитуда перезарядки частиц приобретает дополнительную фазу, пропорциональную $\alpha$).

Затем попытайтесь вычислить гамильтониан и убедитесь, что любые ионы можно описать, добавив фиктивное нераспространяющееся калибровочное поле с некоторым ограничением.

Наконец, остается только решить соответствующее уравнение Шрёдингера...

PS По поводу вашего комментария ("...То есть у нас могут быть только фермионы или бозоны. У нас не может быть никаких ..."): вы не учитываете, что первая гомотопическая группа для 2-мерного пространства не является группа перестановок$Z_{2}$, а для пространств размерности$> 3$. Поэтому петля, опоясанная точкой в ​​конфигурационном пространстве частиц, живущих в 2D, не может быть стянута в точку (в отличие от случая 3D). Это очень просто понять, если представить замкнутый контур с точкой внутри него в 2D и в 3D. Это означает, что волновая функция эниона не обязательно должна быть однозначной при двойном обмене частицами, и, следовательно,$\alpha$из вашего комментария не обязательно должен быть модуль 1.

Чтобы быть более точным, для будущих читателей, существуют операторы вторичного квантования, которые описывают любое «возбуждение» или «творение». Например, в модели Китаева он приходит к эффективному гамильтониану

$$\begin{equation} H=-J_{e} \sum_{\text {vertices }} A_{s}-J_{m} \sum_{\text {plaquettes }} B_{p}, \quad \text { where } \quad A_{s}=\prod_{\text {star }(s)} \sigma_{j}^{x}, \quad B_{p}=\prod_{\text {boundary }(p)} \sigma_{j}^{z}. \end{equation}$$

Эти$A,B$операторы дают элементарные$\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$-возбуждения, дающие заряды с энергией$2J_e$и вихри с зарядом$2J_m$. Эти заряды и вершины в точности$e,m$Абелевы анионы.

Первое квантованное описание этих частиц редко встречается по той же причине, по которой редко встречается первое квантованное описание электронов в моделях конденсированного состояния; локальные степени свободы, такие как абсолютное положение, редко важны для описания динамики.

Рассмотрим волновую функцию

$$\begin{equation}\label{eq:anyon_example} \Psi(z_1,z_2,\ldots, z_N)=\prod_{1\leq i<j\leq N} (z_i-z_j)^{p/q} e^{-\sum^N_{j=1} |z_j|^2}, \end{equation}$$ где мы используем комплексные координаты$z=x+iy$для обозначения положения частиц и$p,q$являются взаимно простыми постоянными целыми числами. Когда$q\neq 1$волновая функция многозначна, и нам нужно различать обмены по часовой стрелке (CW) и против часовой стрелки (CCW). Для любой пары$i,j$частиц, если сплести$z_i$против часовой стрелки вокруг$z_j$, у нас есть$\Psi\to e^{i\pi p/q}\Psi$а для косы CW имеем$\Psi\to e^{-i\pi p/q}\Psi$, так что это представляет собой волновую функцию$N$тождественные абелевы анионы.