От «Матричной» формы к «Компонентной» (тензорной) форме

Нет, как видите, ваши индексы не совпадают. Вы должны иметь уравнение вида$A^\mu{}_\nu = B^\mu{}_\nu$.

Правильный способ сделать это

$$\omega^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\rho} ( \omega^T)_\rho{}^\sigma \eta_{\sigma\nu}$$ Обратите внимание, что индексы всегда находятся рядом, так как это умножение матриц. Далее мы используем $$( \omega^T)_\rho{}^\sigma = \omega^\sigma{}_\rho$$ Затем, $$\omega^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\rho} \omega^\sigma{}_\rho \eta_{\sigma\nu} = - \omega_\nu{}^\mu$$ Таким образом, правильное уравнение $$\omega^\mu{}_\nu + \omega_\nu{}^\mu = 0 .$$