Ожидаемое значение оператора для системы невзаимодействующих частиц (фермионов)

Я думаю, что это ситуация, когда намного проще получить желаемый результат, используя вторичное квантование. Для начала рассмотрим систему одинаковых частиц и пусть$O = \sum\limits_{k} o_k$обозначают одночастичный оператор общего положения в соответствующем фоковском пространстве. На языке вторичного квантования мы можем выразить этот оператор как

$$O = \sum\limits_{ij} \langle i|o|j\rangle \,a_i^\dagger a_j \quad .$$ Математическое ожидание (однотельного) оператора в состоянии$\rho$определяется$\langle O \rangle_\rho \equiv \mathrm{Tr} \, \rho \, O$, где трассировка ведется на фоковском пространстве. Задав элементы одночастичной приведенной матрицы плотности в состоянии$\rho$как $$\gamma_{ij} \equiv \mathrm{Tr}\, \rho\, a_j^\dagger a_i \quad ,$$ мы видим, что мы можем записать ожидаемое значение$O$как $$\langle O \rangle _\rho = \mathrm{tr}\, \gamma \,o \quad ,$$ где теперь трассировка ведется в одночастичном гильбертовом пространстве.

---

В следующих,$i,j$обозначают элементы базиса, в котором одночастичный гамильтониан является диагональным.

Для системы невзаимодействующих фермионов, находящихся в равновесии в большом каноническом ансамбле, следует, что

$$\gamma_{ij} = \delta_{ij} \,\langle n_i \rangle_\rho \quad .$$ Это можно получить, например, применив теорему Вика. Здесь, $$\langle n_i \rangle_\rho = \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/{k_{\mathrm{B}}T}}+1}$$ – известное выражение для среднего числа заполнения одночастичного состояния$i$.

Наконец, это показывает, что действительно

$$\langle O \rangle_\rho = \sum\limits_i \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/{k_{\mathrm{B}}T}}+1}\, \langle i|o|i\rangle \quad \quad ,$$ для системы невзаимодействующих фермионов в большом каноническом равновесии.

В заключение отметим, что аналогичный результат справедлив для случая невзаимодействующих идентичных бозонов.

Поэтому я считаю, что его также можно получить с помощью 1-го квантования следующим образом:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \langle \Psi_j|\hat \rho \hat O |\Psi_j\rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \langle \hat \rho \Psi_j|\hat O |\Psi_j\rangle =\sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \langle \Psi_j| \hat O |\Psi_j\rangle$$

Где$\tilde \rho_j$является собственным значением$\hat \rho$связан с состоянием j.

Предполагая, что$\hat O$можно записать в виде суммы одночастичных операторов:

$$\hat O = \sum_k \hat o_k$$

Где k - индекс частицы k. Теперь можно написать:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \langle \Psi_j| \sum_k \hat o_k |\Psi_j\rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \sum_i n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Где я использовал тот факт, что математическое ожидание оператора с одним телом$\hat o_k$действующий на волновую функцию многих тел$\Psi_j$является:

$$\langle \Psi_j | \hat o_k | \Psi_j \rangle = \sum_i n_i \frac{(N-1)!}{N!} \langle\psi_i|\hat o |\psi_i \rangle$$

Где i суммирует все собственные состояния одного тела, присутствующие в$\Psi_j$,$N!$в знаменателе исходит из того, что$\Psi_j$представлен определителем Слейтера собственных состояний одного тела. $(N-1)!$в числителе представляет тот факт, что индекс каждой частицы повторяется$N!/N$раз. Окончательно,$n_i$представляет количество раз, которое повторяется собственное состояние i.

Таким образом, когда эта сумма выполняется N раз, факториалы удаляются.

Возвращаясь к$\langle \hat O \rangle$, надо:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \sum_i n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \sum_i \tilde \rho_j n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle = \sum_{i} \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Чего можно достичь, соответствующим образом переиндексировав сумму (я думаю?).

Продолжение:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_i \left( \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j n_i \right) \langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle = \sum_i \langle n_i \rangle \langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Используя тот факт, что:

$$\langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)} \pm 1} = f_i$$

Надо:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_i f_i \langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Как изначально хотелось.