Почему четыре скорости при ковариантном дифференциале считаются равными нулю?

Интуитивно геодезические — это пути, по которым следуют объекты только под действием гравитационного поля. Производная от четырех скоростей, равная нулю, примерно означает, что «ускорение отсутствует» в ковариантном смысле; т.е. никаких внешних сил. Эти объекты, по сути, просто катятся в пространстве-времени, двигаясь в направлении, заданном кривизной.

В вашем вопросе гораздо больше; например, вы, вероятно, имеете в виду что-то вроде следующего локального выражения

$$\mathcal{D}_\nu U^\mu=\partial_\nu U^\mu+\Gamma^{\mu}_{\rho\nu}U^\rho=0$$

где я использую символы Кристоффеля, чтобы явно записать связь в касательном расслоении (обратите внимание, что теперь это$(1,1)$-тензор). Это то, что мы подразумеваем под «производной по направлению», так как теперь это говорит о том, что «скорость не изменяется в направлении$\nu$."