Использование действия из лагранжевой механики

Я могу придумать два непосредственных использования действия$S$себя в общей теории относительности. Первый для получения энтропии черной дыры Шварцшильда, а второй для расчета скорости зарождения инстантонов, возникающих в результате процессов туннелирования из ложного вакуума в настоящий.

---

Энтропия Бекенштейна-Хокинга

Для вычисления энтропии мы используем полуклассический подход. Обычно определяют статистическую сумму,

$$Z\sim \mathrm{tr} \, e^{-\beta H}$$

с$\beta^{-1}=k_BT$, где$H$является гамильтонианом. Подход скорее ad hoc , но грубо заметьте,

$$H = \int d^3x \, \mathcal{H} \sim \frac{1}{\beta}\int d^4x \, \mathcal{H} \sim \frac{1}{\beta}I_E$$

где$I_E$является евклидовым действием , которое для нашего случая гласит:

$$I_E = \frac{1}{16\pi G}\int_M d^4x \, \sqrt{|g|} R + \frac{1}{8\pi G} \int_{\partial M} d^3x \, \sqrt{|h|} K$$

которое представляет собой действие Эйнштейна-Гильберта, дополненное членом Гиббонса-Хокинга для учета вклада границы многообразия. Для гравитации Эйнштейна мы ожидаем$Z$преобладают классические решения, т.

$$Z \sim \sum_{\mathrm{class \, solns}} e^{-\beta I_E}$$

Как для черных дыр Керра, так и для черных дыр Шварцшильда скаляр Риччи равен нулю. Однако у них есть ненулевой граничный член, который будет вносить вклад в статистическую сумму. Итак, наша метрика

$$ds^2 = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

где$\tau$является периодической координатой с периодичностью$8\pi GM$. Временно вводим отсечку$R >> GM$, а метрика на границе — это просто метрика Шварцшильда без$dr^2$срок, оцененный на момент отсечения,$R$. Внешняя кривизна задается расхождением нормали,

$$K=\nabla_a n^a = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \sqrt{1-\frac{2GM}{r}} = -\frac{2}{r}\sqrt{1-\frac{2GM}{r}} - \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}}$$

оценивается в$R$. Подынтегральная функция действия не зависит от$\tau,\theta,\phi$, и интегрирование тривиально. Получаем зависимость от обрезания,$R$, и получить конечный предел в виде$R\to\infty$вычитается евклидово действие пространства Минковского с той же границей. В конце концов, человек находит,

$$I_E = \frac{1}{2}\beta M.$$

Подключив его к функции распределения и вычислив,

$$S = -\beta^2 \frac{\partial}{\partial \beta} \beta^{-1} \ln Z$$

один находит результат$S = 4\pi G M^2$, или по площади,$A/4G$в натуральных единицах.

---

Зарождение пузырьков

Второе приложение — зарождение пузырьков, впервые изученное Коулманом и де Лючия. Общая идея состоит в том, что у вас есть теория поля, в которой есть истинный вакуум и ложный вакуум, но разница в потенциале ничтожна. В каждой области тензор энергии-импульса будет разным, а значит, и геометрия пространства-времени. Коулман и де Лючия изучали процессы туннелирования из ложного вакуума в истинный вакуум, которые включали зарождение инстантона или пузыря. В их оригинальной статье лагранжиан был дан,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial \phi)^2 - \frac{\lambda}{2}(\phi^2-\eta^2)^2 - \frac{\epsilon}{2\eta}(\phi-\eta)$$

Классический вакуум$\phi = \eta$настоящий вакуум, но$\phi=-\eta$нет, хотя разница есть$\epsilon$. Действие входит в картину , потому что его можно использовать для оценки скорости,

$$\Gamma \propto e^{-I_B}$$

где$I_B$это действие отскока , то есть действие, рассчитанное для стены, за вычетом действия для пространства внутри стены. Коулман и де Лючия обнаружили, что если учесть гравитационные эффекты, они могут остановить зарождение пузыря, потому что искривление геометрии пространства-времени может помешать пузырю достичь правильного отношения объема к площади поверхности, чтобы чистая энергия была равна нулю.

Более поздняя работа Р. Грегори и др. по зарождению таких инстантонов в пространстве де Ситтера-Шварцшильда показывает, что скорость зарождения несколько выше по сравнению с инстантоном Коулмана. Подробные педагогические расчеты см. в « Классических решениях в квантовой теории поля » Вайнберга или в статьях:

• Черные дыры как места зарождения пузырей , Р. Грегори и др., [hep-th/1401.0017v1].
• Гравитационные эффекты распада вакуума и его распада , С. Коулман, Ф. де Лючия, Phys. Ред. D 21 , 3305.