Почему это хорошее определение температуры?

«Хорошее» определение (хотя этот термин расплывчато) должно воспроизводить по крайней мере некоторые из наших основных интуитивных представлений об определяемом понятии.

Очень фундаментальная повседневная вещь, которую мог бы искать ученый, ищущий понятие температуры, состоит в том, что чистая скорость теплового потока между двумя телами с одинаковой температурой должна быть равна нулю. Когда горячее тело соприкасается с холодным, первое нагревает второе до тех пор, пока они не станут одинаковой «температуры», что бы это ни значило.

Теперь рассмотрим два тела с энергией$E_1$и$E_2$. Пусть число микросостояний, совместимых с макроскопическим состоянием каждого тела, равно$\Omega_1$и$\Omega_2$. Общее число микросостояний системы в целом, совместимое с макросостоянием системы, равно$\Omega_1\,\Omega_2$. Что произойдет, если мы поместим тела в контакт друг с другом и предположим, что в остальном они изолированы?

В моем ответе здесь я утверждаю, что весьма вероятно, что любая система окажется в микросостоянии, которое очень близко к микросостоянию с максимальной вероятностью, просто подвергнувшись случайному блужданию, потому что для больших ансамблей набор микросостояний содержит состояния, которые очень похоже на микросостояние с максимальной вероятностью и почти ни на что другое (я делаю несколько простых расчетов с биномиальным распределением, чтобы показать это в своем другом ответе).

Итак, делаем вывод, что тепло будет течь между телами до тех пор, пока система не найдет свое микросостояние максимального правдоподобия. Предполагая, что все микросостояния равновероятны, это будет микросостояние, которое максимизирует$\Omega_1\,\Omega_2$. В состоянии равновесия$\Omega_1$и$\Omega_2$являются функциями$\Omega(E)$внутренней энергии каждой подсистемы. Итак, запишем уравнение, максимизирующее$\Omega(E_1)\,\Omega(E_2)$, при условии, что$E_1+E_2=const$(при условии, что две системы изолированы).

Получаем, конечно:

для$j=1,\,2$и$\lambda$наш множитель Лагранжа. Вот и наш ответ: тепло перестанет течь между телами тогда и только тогда, когда:

поэтому, если мы определим температуру как некоторую функцию$\frac{\partial\Omega}{\partial E}$, мы воспроизводим фундаментальное свойство, заключающееся в том, что тепло будет течь между двумя телами с разной температурой, находящимися в контакте друг с другом, в то время как тепло не течет между двумя телами с одинаковой температурой.

Хорошо, тогда как насчет начального направления теплового потока? Дальнейшие тщательные рассуждения, подобные приведенным выше, показывают, что это тело с большей $\frac{\partial\Omega}{\partial E}$что набирает тепло. Следовательно, температура должна быть монотонно убывающей функцией$\frac{\partial\Omega}{\partial E}$.

Самый простой выбор это$T^{-1} \propto \frac{\partial\Omega}{\partial E}$, хотя, исходя только из рассуждений выше, этот выбор далеко не уникален. В конечном итоге определение было уточнено после того, как наши знания статистической механики выросли, пока мы не поняли, что многие вещи можно объяснить, если предположить, что статистическая концепция энтропии такая же, как классическое термодинамическое понятие Карно и Клаузиуса, как я объясняю в своем ответе здесь . Если мы это сделаем, то действительно температура должна быть обратной$\frac{\partial\Omega}{\partial E}$, если мы хотим воспроизвести определение температуры Карно с точки зрения эффективности идеальной тепловой машины. См. также некоторые дополнительные идеи о температуре и ее определении в моем недавнем ответе здесь .